14、量子计算中的Trotter误差分析与最优选择

量子计算中的Trotter误差分析与最优选择

1. 严格与经验Trotter界

在研究有限矩阵时，对于 $S_n = e^{\frac{A + B}{n}}$ 和 $T_n = e^{\frac{A}{n}}e^{\frac{B}{n}}$，我们可以通过单步误差来确定误差界。单步误差满足不等式：
$$||S_n - T_n|| \leq ||S_{n - 1} - T_{n - 1}||(\max(||S_n||, ||T_n||))$$
由于单步误差是二阶的，我们期望 $||S_n - T_n|| \leq \frac{C}{n^2}$，并且通过增加 $n$ 的值，可以使 $||S_n - T_n||$ 变得任意小。比例常数可以通过对 $\epsilon$ 进行幂次展开来微扰估计。

1.1 误差展开式

低阶误差展开式为：
$$e^{\epsilon A}e^{\epsilon B} - e^{\epsilon(A + B)} \approx - \frac{\epsilon^2}{2}[A, B]$$
高阶误差展开式为：
$$e^{\frac{\epsilon A}{2}}e^{\epsilon B}e^{\frac{\epsilon A}{2}} - e^{\epsilon(A + B)} \approx \frac{\epsilon^3}{24}(2[[A, B], A] + [[A, B], B])$$

1.2 量子计算机中的实际问题

在量子计算机的实际应用中，Trotter步数 $n$ 可能会受到相干性和噪声问题的限制。需要强调的是，上述误差界是一个上界，在特定情况下可能未达到饱和。对于时