CF1327F AND Segments（滚动数组的妙用）

最新推荐文章于 2025-04-07 22:04:26 发布

原创最新推荐文章于 2025-04-07 22:04:26 发布 · 542 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

思维题同时被 3 个专栏收录

9 篇文章

订阅专栏

----------动态规划------

5 篇文章

订阅专栏

数位dp

4 篇文章

订阅专栏

该博客介绍了如何利用滚动数组优化解决CF1327F问题，即在限定条件下计算合法填数方案数。通过分析题目中按位运算的特点，将问题分解为考虑填0的位置，然后建立状态转移方程，并利用滚动数组将复杂度从O(kn^2)降低到O(kn+km)，实现了效率的提升。

题意

有 $n$ 个位置，现在要往上面填数，给定 $k$ ，每个数小于 $2^k$ 。现在有 $m$ 个限制条件，每个限制条件给定 $l_i,r_i,x_i$ ，要求满足 $a[li]&a[li+1]&…&a[ri]=xia[l_i] \& a[l_i + 1] \& \dots \& a[r_i] = x_i$ 。求合法的填数方案数。

分析

因为 $&\&$ 运算是每位独立的，所以这题填的数每一位也是独立的，我们可以一位一位考虑。
那么限制条件转化为以下两种情况：

整个区间都填 $1$
整个区间中存在至少一个 $0$

那么我们只用考虑哪些位置填 $0$ 即可。
设 $f_{i,j}$ 表示考虑到第 $i$ 位，最后一个填 $0$ 的位置为 $j$ 的方案数。
设 $gi,j=∑j=0ifi,jg_{i,j}=\sum\limits_{j=0}^{i}f_{i,j}$
转移分两种情况：

不在第 $i$ 位填 $0$
$f_{i,j}=f_{i-1,j}$
在第 $i$ 位填 $0$
$fi,i=∑j=0i−1fi−1,j=gi−1,i−1f_{i,i}=\sum\limits_{j=0}^{i-1}f_{i-1,j}=g_{i-1,i-1}$

看起来做完了，其实还没有！
如果 $i$ 是某个存在 $0$ 的限制的右端点，如图：
在这里插入图片描述
这个图是多个以 $i$ 为右顶点的存在 $0$ 的区间， $l m a x$ 是最大的左端点。
那么最近一个 $0$ 的位置肯定是在 $[l m a x, i]$ 中的。因此， $f_{0,lmax-1}$ 的值都应该被清 $0$ 。
到了这里，我们得到了一个 $O(kn^2)$ 的做法：
每次暴力更新 $f_{i,j}$ ，且每次暴力清 $0$
考虑优化。
看一下转移方程，设目前来到第 $i$ 位，如果用滚动数组，转移方程将变为：

不在第 $i$ 位填 $0$
$f_j=f_{j}$
在第 $i$ 位填 $0$
$f_i=g_{i-1}$

那么转移变成 $O (1)$ 的了。
考虑清 $0$ 操作，我们维护上一次清 $0$ 的点为 $p$ ，这次清 $0$ ，相当于将 $[p, l m a x - 1]$ 清 $0$ ，然后将 $p$ 移动到 $l m a x$ 。这样，每个点只会被清 $0$ 一次。
总的复杂度为 $O (k n + k m)$ 。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define N 500005
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const int mod = 998244353;
LL z = 1;
int read(){
	int x, f = 1;
	char ch;
	while(ch = getchar(), ch < '0' || ch > '9') if(ch == '-') f = -1;
	x = ch - '0';
	while(ch = getchar(), ch >= '0' && ch <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + ch - 48;
	return x * f;
}
int cnt[N], mx[N], f[N], g[N];
struct node{
	int l, r, x;
}d[N];
int main(){
	int t, i, j, k, n, m, l, r, ans = 1, p;
	n = read(); k = read(); m = read();
	for(i = 1; i <= m; i++) d[i].l = read(), d[i].r = read(), d[i].x = read();
	for(t = 0; t < k; t++){
		for(i = 1; i <= n + 1; i++) f[i] = g[i] = mx[i] = cnt[i] = 0;
		for(i = 1; i <= m; i++){
			l = d[i].l; r = d[i].r;
			if(1 << t & d[i].x) cnt[l]++, cnt[r + 1]--;
			else mx[r] = max(mx[r], l);
		}
		for(i = 1; i <= n; i++) cnt[i] += cnt[i - 1];
		f[0] = g[0] = 1;
		p = 0;
		for(i = 1; i <= n; i++){
			g[i] = g[i - 1];
			if(!cnt[i]){
				f[i] = g[i - 1];
				g[i] = (g[i] + f[i]) % mod;
			}
			while(p < mx[i]) g[i] = (g[i] - f[p]) % mod, p++;
		}
		ans = z * ans * g[n] % mod;
	}
	ans = (ans % mod + mod) % mod;
	printf("%d", ans);
	return 0;
}