UVa 111|History Grading|动态规划|最长上升子序列

题目

计算机科学中的许多问题涉及有约束的最优化问题。
考虑一个要求学生按时间顺序排序历史事件的历史考试。排序正确的学生将获得满分，但是只对了一部分的学生要怎么给分呢？
有以下一些可能：
1. 和正确答案对应相同的事件个数为其分数
2. 和正确答案相似程度最大的子序列（不要求连续）的长度为其分数。
举个例子，如果4个事件的正确顺序是1 2 3 4，那么答案1 3 2 4按第一种方法将获得2分（1和4事件对应上了）；按第二种方法将获得3分（1 2 4之间的顺序是对的，或者1 3 4）。
为了最大化学生的成绩，减少他们对评分标准的不满，老师决定选用第2种方案作为评分标准。请你写一个程序实现它。
给定n个事件的正确顺序用$c_1,c_2,\cdots,c_n$表示，其中$c_i$为第i个事件的按时间顺序的名次。
给定学生的答案$r_1,r_2,\cdots,r_n$，**其中$r_n$表示学生认为第i个事件应该的排名是多少。
输出按第二种方案的评分。

输入

输入第一行一个整数$n(2\leq n\leq 20)$，表示历史事件的个数。
第二行包含$n$个整数$c_i$。
接下来每行$n$个整数表示多个学生的$r_i$。一行一个学生的答案。
EOF结束。

输出

对每个学生，输出一行一个整数，表示该学生的得分。

注意

请注意关键字眼：顺序和名次。

样例输入1

4
4 2 3 1
1 3 2 4
3 2 1 4
2 3 4 1

样例输出1

1
2
3

样例输入2

10
3 1 2 4 9 5 10 6 8 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 7 2 3 10 6 9 1 5 8
3 1 2 4 9 5 10 6 8 7
2 10 1 3 8 4 9 5 7 6

样例输出2

6
5
10
9

题解

很显然，将名次转换为原来的历史事件的id的话，与标准答案的最长公共子序列的长度就是答案，但是本题比较特别，原序列和新序列都不重复不缺漏地包含$[1..n]$的所有数字，因此本题可以转化为最长上升子序列解决。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define FOR(i,j,k) for(i=j;i<=k;++i)
using namespace std;
int f[32], a[32], dp[32];
int main() {
    int n, i, j, k, ans;
    scanf("%d", &n);
    FOR(i,1,n) scanf("%d", &k), f[i] = k;
    while (1) {
        FOR(i,1,n) 
            if (scanf("%d", &k) == EOF)
                return 0;
            else
                a[k] = f[i];
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        dp[1] = 1; a[0] = 0; ans = 0;
        FOR(i,2,n) FOR(j,0,i-1)
            if (a[i] > a[j])
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
        FOR(i,1,n) ans = max(ans, dp[i]);
        printf("%d\n", ans);
    }

    return 0;
}