高数下无穷级数

目录

一、常数项级数的概念和性质

（1）级数的重要性质​

（2）常见级数敛散性

（3）判断级数是否收敛

二、正项级数

（1）比较判别法

（2）比值判别法

（3）根值判别法

三、任意性级数

1、条件收敛与绝对收敛​

2、交错级数 莱布尼茨判别法 ​

三、函数项级数

1、函数项级数定义

 2、一致收敛的定义

3、柯西一致收敛准则

4、 魏尔斯特拉斯判别法

四、幂级数

1、幂级数与阿贝尔第一定理

2、 阿贝尔第二定理

3、收敛半径，收敛区间，收敛域 

4、幂级数缺项

五、和函数的计算

1、和函数的计算

 2、求幂函数的和函数

 六、初等函数的幂级数展开

 1、常见的函数展开式

 七、傅里叶级数

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一、常数项级数的概念和性质

（1）级数的重要性质

（2）常见级数敛散性

（3）判断级数是否收敛

利用图中的不等式求出n与的关系，在利用前者的关系求出自然数N，所以当n大于N时，恒有不等式成立所以级数收敛

 

总结：一般级数判断收敛的方法：前n项的部分和Sn，是否等于0，p级数和等比级数

二、正项级数

（1）比较判别法

（2）比值判别法

（3）根值判别法

 三方法的适用范围：

正项级数总结：一般先比值根值法（最好判断能否用），其次比较判别的极限形式，最后比较判别的一般形式

例1 

 

 例2

三、任意性级数

1、条件收敛与绝对收敛

2、交错级数 莱布尼茨判别法 

 例1

例2

例3

三、函数项级数

1、函数项级数定义

 2、一致收敛的定义

3、柯西一致收敛准则

4、 魏尔斯特拉斯判别法

四、幂级数

1、幂级数与阿贝尔第一定理

2、 阿贝尔第二定理

3、收敛半径，收敛区间，收敛域 

4、幂级数缺项

例1（换元法）

 例2（幂级数缺项）

五、和函数的计算

1、和函数的计算

 2、求幂函数的和函数

例1（利用极限求端点的和函数）

 例2

 例3（构造幂级数）

 六、初等函数的幂级数展开

 1、常见的函数展开式

（套用公示后前可以讲x换元为t代入公式结果扔成立，但形式一定要符合公式的基本形式，例如lna+bx必须换元为ln（1+bx/a）这个1一定要存在）

例1

  

例2

例3

 总结：函数的整体格式不能变，比如ln（1+x）必须有1在，x可以随意改变为任意其他形式后代入展开式，结果仍然成立

 七、傅里叶级数

1、三角函数与以2π为周期级数展开（an，bn前有π分之一，后有f（x），从-π到π区间内，f（x）不一定一成不变，可以是不同的然后拆分积分来求）

2、狄利克雷收敛原理（用于计算和函数的值）

 3、以2l为周期的级数展开

4、正余弦级数展开

 例1 （利用狄利克雷收敛原理求和函数）

 例2（作2π为周期的展开）

例3（利用偶延拓求展开）

例4（f（x）题目有说为周期函数，所以间断点用k来表示，若不是周期函数可直接用有限点表示，当用狄利克雷函数法求得的间断点的极限值与f（x）的函数值一样，则这个点就不是间断点）