矩阵快速幂模板

前置知识

矩阵

矩阵是一个$n\times m$的阵列，下面是一个$3\times 3$的矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ & & \\ 0& 1& 0\\ & & \\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

矩阵乘法

若矩阵A的大小为$n\times m$ ，另一矩阵B的大小为$m\times p$，则两个矩阵可以做乘法，得到的矩阵C大小为$n\ast p$。具体的乘法规则如下：

矩阵A：
$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ & & \\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right]$

矩阵B：
$\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ & \\ b_{21}& b_{22}\\ & \\ b_{31}& b_{32}\end{array}\right]$

相乘得到矩阵C：
$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}\times b_{11}+a_{12}\times b_{21}+a_{13}\times b_{31}& a_{11}\times b_{12}+a_{12}\times b_{22}+a_{13}\times b_{32}\\ & \\ a_{21}\times b_{11}+a_{22}\times b_{21}+a_{23}\times b_{31}& a_{21}\times b_{12}+a_{22}\times b_{22}+a_{23}\times b_{32}\end{array}\right]$

C++代码实现矩阵乘法:

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= n; j++)
        for (int k = 1; k <= n; k++)
            C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];

性质：

1. 矩阵乘法不满足交换律，但是满足结合律。即$(AB)C=$