矩阵快速幂 (模板)

另斐波那契数列的矩阵为 1 1

                    1 0

/*定义矩阵<pre name="code" class="cpp"> Matrix A;
    A.clear();
    /*改*/
    A.n = A.m = 2;
    A.a[0][0] = 1;
    A.a[0][1] = 1;
    A.a[1][0] = 1;
    A.a[1][1] = 0;

接口:Matrix res = Matrix_pow(A, n - 1);
cout<<res.a[0][0]<<endl;
*/
#include <cstdio>
#include <cstring>

typedef long long ll;
using namespace std;
/*改*/
const int maxn = 5;
const int maxm = 5;
const int mod = 10000;
struct Matrix
{
    int n, m;
    ll a[maxn][maxm];
    void clear()
    {
        n = m = 0;
        memset(a, 0, sizeof(a));
    }
    Matrix operator * (const Matrix &b) const
    {
        Matrix tmp;
        tmp.clear();
        tmp.n = n;
        tmp.m = b.m;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = 0; j < m; j++)
            {
                if (!a[i][j]) continue;  //稀疏矩阵乘法优化
                for (int k = 0; k < b.m; k++)
                {
                    tmp.a[i][k] += a[i][j] * b.a[j][k];
                    tmp.a[i][k] %= mod;
                }
            }
        return tmp;
    }
};
int n;
Matrix Matrix_pow(Matrix A, int k)
{
    Matrix res;
    res.clear();
    res.n = res.m = 2;//改
    for (int i = 0; i < 2; i++) //改
        res.a[i][i] = 1;
    while(k)
    {
        if (k & 1) res = res * A;
        k >>= 1;
        A = A * A;
    }
    return res;
}
int main ()
{

    //freopen("text.in","r",stdin);
    Matrix A;
    A.clear();
    /*改*/
    A.n = A.m = 2;
    A.a[0][0] = 1;
    A.a[0][1] = 1;
    A.a[1][0] = 1;
    A.a[1][1] = 0;
    while(1)
    {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        if(n == -1)
            break;
        if(n == 0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        Matrix res = Matrix_pow(A, n - 1);
        printf("%lld\n", res.a[0][0]);
    }
    return 0;
}

 




### 矩阵快速幂算法的实现 矩阵快速幂是一种高效的算法,用于计算矩阵的高次。它基于分治的思想以及矩阵乘法的结合律来降低时间复杂度。以下是矩阵快速幂的一个通用代码模板: #### Python 实现 ```python import numpy as np def matrix_multiply(A, B, mod=None): """矩阵相乘""" rows_A, cols_A = len(A), len(A[0]) rows_B, cols_B = len(B), len(B[0]) if cols_A != rows_B: raise ValueError("无法进行矩阵乘法") result = [[0 for _ in range(cols_B)] for __ in range(rows_A)] for i in range(rows_A): for j in range(cols_B): temp_sum = 0 for k in range(cols_A): temp_sum += A[i][k] * B[k][j] if mod is not None: temp_sum %= mod result[i][j] = temp_sum return result def matrix_power(matrix, n, mod=None): """矩阵快速幂""" size = len(matrix) identity_matrix = [[int(i == j) for j in range(size)] for i in range(size)] result = identity_matrix base = matrix while n > 0: if n % 2 == 1: result = matrix_multiply(result, base, mod=mod) base = matrix_multiply(base, base, mod=mod) n //= 2 return result ``` 上述代码实现了两个核心函数: - `matrix_multiply`:完成两个矩阵之间的乘法操作,并支持运算[^1]。 - `matrix_power`:通过快速幂的方式高效地计算矩阵的高次。 #### C++ 实现 对于更注重性能的语言如C++,也可以提供类似的实现方式: ```cpp #include <vector> using namespace std; // 定义矩阵大小和取值 const int MOD = 1e9 + 7; typedef vector<vector<long long>> Matrix; Matrix multiply(const Matrix &A, const Matrix &B){ int r = A.size(), c = B[0].size(); Matrix C(r, vector<long long>(c, 0)); for(int i = 0;i < r;i++) { for(int j = 0;j < c;j++) { for(int k = 0;k < (int)B.size();k++) { C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k]*B[k][j])%MOD; } } } return C; } Matrix power(Matrix base, long long exp){ int sz = base.size(); Matrix res(sz, vector<long long>(sz, 0)); // 单位矩阵初始化 for(int i = 0;i < sz;i++) res[i][i] = 1; while(exp > 0){ if(exp & 1){ // 如果当前指数为奇数 res = multiply(res, base); } base = multiply(base, base); // 平方更新基底 exp >>= 1; // 右移一位相当于除以2 } return res; } ``` 以上代码同样包含了两部分功能: - `multiply` 函数负责执行矩阵间的乘法并处理大整数溢出问题[^4]。 - `power` 函数则采用快速幂的方法加速矩阵次的计算。 #### 应用实例——斐波那契数列 假设我们需要使用矩阵快速幂求解第 \(n\) 项斐波那契数列,则可以通过如下构造矩阵来进行计算: \[ M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, V_0 = \begin{bmatrix} F(1)\\ F(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}. \] 那么有 \(\text{{result}} = M^{n-1} \times V_0\) 表示最终的结果向量[^3]。 --- ###
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