9、无向网络上通用线性系统的指数一致性分析

无向网络上通用线性系统的指数一致性分析

1. 问题重述与初步结果

考虑如下 $N$ 个部分状态耦合的线性系统：
(\dot{x} i(t) = Ax_i(t) + BK\sum {j = 1}^{N}w_{\sigma(t)}^{ij}(x_j(t) - x_i(t))) （3.19）
其中，(i = 1, \cdots, N)，(x_i) 是第 (i) 个智能体的状态，(A \in R^{n\times n}) 和 (B \in R^{n\times m}) 分别是系统矩阵和输入矩阵，(B) 不要求是满行秩或满列秩，(K \in R^{m\times n}) 是待设计的反馈矩阵。

假设 3.23 ：(A) 是中性稳定的，即 (A) 的特征值是半单的且位于虚轴上。

由于 (A) 的中性稳定性，存在一个对称正定矩阵 (P) 使得 (A^{\top}P + PA = 0)。除非另有说明，反馈矩阵 (K) 选择为 (K = B^{\top}P)。

为了确定是否达到一致性（流形），定义 (V = x^{\top}(J \otimes P)x) 作为 Lyapunov 函数，其中 (x = [x_1^{\top}, \cdots, x_N^{\top}]^{\top})，(J = I_N - \frac{1}{N}1_N1_N^{\top})。注意到 (J) 是对称半正定的，且有一个简单的零特征值，对应的特征向量为 (1_N)。因此，当且仅当 (V = 0) 时，达到一致性（流形），即 (x_1 = \cdots = x_N)。

定义 3.25（指数一致