11、无向图上通用线性系统的矩阵值函数紧集与指数一致性

无向图上通用线性系统的矩阵值函数紧集与指数一致性

1. 引言

在本节内容中，我们将介绍主要研究成果。首先会引入一些紧集，然后基于这些紧集，证明图 $G(t)$ 的联合 $(\delta, T)$ - 连通性以及 $(A, B^{\top}P)$ 的可观测性是实现指数一致性的充分必要条件。以下分析是在度量空间 $(F : X = [t_0, t_0 + T ] \to R^{N\times N}, d)$ 中进行的，其中度量定义为：
$d(U(t), H(t)) = \sup_{t\in[t_0,t_0+T]}|U(t) - H(t)|$，这里 $U(t), H(t) \in R^{N\times N}$。

2. 矩阵值函数的紧集

• 集合定义
  • 设 $F = { f (t) : [t_0, t_0 + T ] \to R}$ 是在 $[t_0, t_0 + T ]$ 上一致有界（由 $C$ 界定，即 $| f (t)| \leq C, \forall f \in F$）且等度连续的连续函数集合。基于 $F$，定义矩阵值函数集合 $\varGamma$ 为在固定时间区间 $[t_0, t_0 + T ]$ 上的时变邻接矩阵集合，其底层图 $G(t)$ 在 $[t_0, t_0 + T ]$ 上的并集是一个连通的 $\delta$ - 图，即：
    $\varGamma \triangleq { W(t) = [a_{ij}(t)] \in R^{N\times N}, t \in [t_0, t_0 + T ] | a_{ij}(t) \in F, 0 \leq w_{ij}(t) \leq C,