8、图收缩为路径和树的研究

图收缩为路径和树的研究

1. 引言

在图论和参数化复杂度领域，顶点删除和边删除问题一直占据核心地位，像反馈顶点集、奇数环横截集和弦图删除等经典问题都是这方面的代表。然而，从参数化角度来看，类似的边收缩问题却大多未被深入研究。这里主要探讨两种基本的边收缩问题：树收缩和路径收缩。

树收缩和路径收缩问题的输入是一个具有 (n) 个顶点的无向图 (G) 和一个整数 (k)，目标分别是判断能否通过最多 (k) 次边收缩操作将图 (G) 转换为无环图（树）或路径。

对于树收缩问题，提出了一个运行时间为 (4.98^k n^{O(1)}) 的算法，该算法基于 Alon、Yuster 和 Zwick 颜色编码技术的变体。对于路径收缩问题，给出了一个运行时间为 (2^{k + o(k)} + n^{O(1)}) 的算法。此外，路径收缩问题有一个最多包含 (5k + 3) 个顶点的核，而树收缩问题除非 (NP \subseteq coNP/poly)，否则不存在多项式核，这与已知有 (4k^2) 顶点核的反馈顶点集问题形成了鲜明对比。

2. 定义和符号

• 图的基本定义 ：所有图都是有限、无向且简单的，即不包含多重边或环。对于图 (G)，用 (V(G)) 表示顶点集，(E(G)) 表示边集，也可用有序对 ((V(G), E(G))) 表示图 (G)，设 (n = |V(G)|)。
  • 邻域 ：顶点 (v) 在图 (G) 中的邻域 (N_G(v) = {w \in V | vw \in E})。
  • 支配