9、图收缩至路径和树及提高图最小度的研究

图收缩至路径和树及提高图最小度的研究

1. 树收缩问题

树收缩问题的算法通过内外循环来判断图是否能 $k$ 收缩到一棵树。在内循环的某次迭代中，如果能找到一个至少有 $n - k$ 个顶点的树 $T’$ 的见证结构，算法输出 “yes”；若内循环所有迭代都未得到 “yes” 答案，外循环选取下一个 $d$ 值；若外循环所有迭代都未得到 “yes” 答案，算法返回 “no”。

为证明算法的正确性，假设图 $G$ 能 $k$ 收缩到树 $T$，设 $W$ 是 $G$ 的一个 $T$ - 见证结构，其最大见证集大小为 $d^ $，且 $d^ \leq k + 1$。构造一个 2 - 着色 $\psi$，使得 $W$ 的每个大见证集关于 $\psi$ 是单色的，当 $uv$ 是 $T$ 中的边时，$\psi(W(u)) \neq \psi(W(v))$，小见证集中的顶点都着颜色 1。

最大见证集需要 $d^ - 1$ 次边收缩，收缩后剩余的边收缩预算为 $k - (d^ - 1) = k - d^ + 1$。大见证集中包含的顶点总数最多为 $d^ + 2(k - d^ + 1) = 2k - d^ + 2$。如果生成一个 $(n, 2k - d^ + 2)$ - 通用集 $F_{d^ }$，根据定理，$F_{d^*}$ 中至少包含一个 2 - 着色 $\varphi$，它在 $W$ 的所有大见证集的顶点上与 $\psi$ 一致。

算法会遍历 $d$ 从 1 到 $k + 1$ 的所有值，在 $d = d^*$ 的正确迭代中，算法会处理 $\varphi$，并根