69、弦图子类中的边收缩问题研究

弦图子类中的边收缩问题研究

1. 引言

在图论领域，图的收缩问题是一个重要的研究方向。图的收缩操作涉及到对图的结构进行修改，通过一系列边的收缩，将一个图转化为另一个图。本文将聚焦于弦图子类中的边收缩问题，探讨不同类型图之间收缩的计算复杂度。

2. 预备知识

• 图的基本概念 ：本文所考虑的图均为无向、有限且简单的图。对于图 (G)，若顶点 (v \in V(G)) 与 (G) 中其他所有顶点都相邻，则称 (v) 为通用顶点。对于集合 (S \subseteq V(G))，(G[S]) 表示由 (S) 诱导的 (G) 的子图，(G - v) 表示 (G[V(G) \setminus {v}])。若 (G[S]) 是连通的，则称集合 (S) 是连通的。两个不相交的集合 (S, S’ \subseteq V(G)) 相邻，当且仅当存在相邻的顶点 (s \in S) 和 (s’ \in S’)。图的连通分量若至少包含一条边，则称为非平凡连通分量。图 (G) 的顶点排序 (\alpha = (v_1, v_2, \ldots, v_n)) 若满足 (d(v_1) \geq d(v_2) \geq \cdots \geq d(v_n))，则称为非递增度排序。
• 边收缩操作 ：图 (G) 中边 (uv) 的收缩是指从 (G) 中移除 (u) 和 (v)，并替换为一个新顶点，该新顶点与 (u) 和 (v) 中至少一个相邻的顶点相邻。我们用 (G/uv) 表示通过收缩边 (uv) 从 (G) 得到的图。若图 (G) 可以通过一系列边收缩操作得到与图 (H) 同构的图，则称 (G) 可以收