13、树自动机的收缩方法与树变换

树自动机的收缩方法与树变换

在树自动机和逻辑的研究中，收缩方法以及各种树变换是重要的概念。下面将详细介绍相关内容。

树自动机的收缩方法

收缩方法可用于构建树自动机的完整运行集。假设有树自动机 $A$ 在树 $T$ 上的运行，以及其收缩版本 $-A$ 在收缩树 $-T$ 上的运行。存在以下重要性质：
- 性质 P1 ：若 $-R$ 是 $-A$ 在 $-T$ 上的运行，且 $-R$ 模拟树 $T$ 上运行 $R$ 的某些特征，可利用此性质构建 $A$ 在 $T$ 上的新运行 $R′$，且 $R′$ 被 $-R$ 模拟，最终验证 $R′ ⪯R$。
- 性质 P3 ：设 $R1$ 和 $R2$ 是 $A$ 在 $T$ 上的两个运行，$-R1$ 和 $-R2$ 是 $-A$ 在 $-T$ 上的两个运行。若 $-R1$ 模拟 $R1$，$-R2$ 模拟 $R2$，且 $-R1 ⪯-R2$，则 $R1 ⪯R2$，这可从模拟关系的定义轻松得出。

这些性质使得我们能够从 $-A$ 在 $-T$ 上给定的完整运行集构建 $A$ 在 $T$ 上的完整运行集。

一个示例

考虑一个无限单词 $w : N →C$，可将其视为扩展线性结构 $L = (N, E, (Pc)c∈C)$，其中 $(i, j) ∈E$ 当且仅当 $j = i + 1$，且 $i ∈Pc$ 当且仅当 $w(i) = c$。设 $T$ 是无限完全 $C$ 着色二叉树，树的第 $i + 1$ 层的每个顶点由 $w(i)$ 着色。形式上，若用集合 $A = {a1, a2}$ 中的元素标记 $T$ 的