19、树自动机与逻辑相关研究

树自动机与逻辑相关研究

在自动机理论和逻辑领域，树自动机和时态结构的研究具有重要意义。下面将详细介绍树自动机的收缩方法、相关理论的可判定性，以及一些函数的性质等内容。

1. 树自动机的收缩方法

树自动机的收缩方法是一种强大的技术，它利用树不可区分性的概念，将给定彩色树的接受问题简化为其合适收缩的接受问题。通过这种方法，可以统一证明一大类树结构的MSO理论的可判定性，这些树结构包括Caucal层次结构中的确定性树以及许多其他树。

收缩方法与Shelah的组合方法有相似之处，二者都利用了关系结构相对于一元二阶公式的不可区分性概念。并且，有理由相信可以将这两种方法进行推广，以有效处理通用关系结构的模型检查问题。

同时，还引入了确定性彩色树的秩的概念，它可以看作是将给定树缩减为规则树所需的迭代收缩次数。一个有趣的开放性问题是，确定秩为n的树的层次结构是否严格递增，这与确定任何给定树的最小秩问题相关。

2. 树变换及其性质

研究了一些自然的树变换，如二阶树替换、树转导以及带向后边和循环的展开操作，并发现了它们之间的显著关系。

对于可约（秩为n）的树，证明了以下性质：
- 组合定理 ：关于二阶树替换的树（次要）类型的组合定理。
- 封闭性 ：秩为n的树的类在具有有理前瞻的树转导下是封闭的，解决了一个开放性问题；可约树的类在带向后边和循环的展开操作下也是封闭的。

3. 收缩方法的应用

收缩方法有许多有意义的应用：
- 语言识别