46、最短路径与最小生成树算法详解

最短路径与最小生成树算法详解

1. 最短路径查询

1.1 收缩层次结构（Contraction Hierarchies）

收缩层次结构在最短路径查询中是一种有效的方法。在收缩过程中，需要记录每个捷径的中点，即插入捷径时收缩的节点。扩展则成为一个递归过程，输入图中的边作为基本情况。

节点的移除顺序至关重要。若排序不佳，会需要大量捷径，导致空间需求增大和查询速度变慢。有许多节点排序的启发式方法，即使是简单的方法也能产生合理的性能。这些启发式方法通过识别剩余图中不重要的节点来在线计算排序，以确定下一个要收缩的节点。为计算节点 $v$ 的重要性，会模拟 $v$ 的收缩，特别是确定会插入多少条捷径。将这个数量和模拟收缩过程中收集的其他统计信息浓缩成一个分数，分数低的节点先被收缩。

与基于官方道路层次结构的启发式方法相比，收缩层次结构使用 $n$ 个不同的层次，而官方层次结构不超过 10 层。这意味着收缩层次结构可以更精细地利用输入中的层次结构。其查询算法也比启发式算法更激进，每一步都会切换到更高的层次，因为捷径可以修复在定义层次结构时所犯的任何“错误”。

1.2 中转节点路由（Transit Node Routing）

在日常生活中，当我们开车去“远方”时，通常会通过少数几个“重要”的道路交叉口离开起始位置。例如，某人住在萨尔布吕肯附近的一个小村庄，去不同方向的长途旅行会从不同的特定地点进入高速公路系统。所以，从他家到远方的所有最短路径都会经过少数几个中转节点，而且这些中转节点对于整个村庄的人来说是相同的。因此，德国（或欧洲）所有地点的中转节点总数较少。

中转节点的概念可以精确化并形成算法。在该算法中，