9、图收缩问题的算法与复杂度分析

图收缩问题的算法与复杂度分析

在图论中，图的修改问题是一个重要的研究领域，其中图的边收缩操作是一种常见的修改方式。本文将介绍几种图收缩问题，包括树收缩、路径收缩以及增加图最小度的收缩问题，并分析它们的算法复杂度。

树收缩问题

树收缩问题是判断给定图 $G$ 是否可以通过最多 $k$ 次边收缩操作将其收缩为一棵树。为了解决这个问题，我们使用了以下算法：
1. 算法流程 ：
- 外层循环遍历 $d$ 从 $1$ 到 $k + 1$ 的所有值。
- 对于每个 $d$，生成一个 $(n, 2k - d + 2)$ - 通用集 $F_d$。
- 内层循环遍历 $F_d$ 中的每个 2 - 着色 $\varphi$。
- 若在内层循环的某次迭代中找到一个至少有 $n - k$ 个顶点的树 $T’$ 的见证结构，则算法输出 “yes”；若外层循环的所有迭代都未得到 “yes” 答案，则算法返回 “no”。
2. 算法正确性证明 ：
- 假设图 $G$ 可以 $k$ - 收缩为树 $T$，设 $W$ 是 $G$ 的一个 $T$ - 见证结构，其最大见证集大小为 $d^ $，且 $d^ \leq k + 1$。
- 构造一个 2 - 着色 $\psi$，使得 $W$ 的每个大见证集关于 $\psi$ 是单色的，且当 $uv$ 是 $T$ 中的边时，$\psi(W(u)) \neq \psi(W(v))$，小见证集中的顶点都着色为 $1$。
- 最大见证集需要 $d^ - 1$ 次边收缩，剩余的边收缩预算为 $k - (d^