P2568&&bzoj2818 GCD

Label

欧拉函数

Description

给定一正整数$n(1\le n\le 10^7)$，请求出：

$$\sum _{x,y}^{1\le x,y\le n}[gcd(x,y)==prime]$$

Solution

我们将$x,y$改写为算术基本定理下的形式后，发现给定的条件有点奇怪：具体来说，如果$d=gcd(x,y)$是个素数，由于$gcd$是最大公约数，这也就意味着$x,y$各自仅含一个值为$d$的素因子且$x,y$内除$d$外其它素因子互不相同（即：除了$d$以外，$y$不含任何可整除$x$的素因子，反之亦然）。

那么，从包含的因子种类的角度考虑，若$d$为素数且$gcd(x,y)=d$，那么一定有：
$$gcd(\frac{x}{d},\frac{y}{d})=1$$

也就是说，$\frac{x}{d},\frac{y}{d}$互质。

其实，推得该结论还可以利用$gcd$的性质直接推得：$gcd(dx,dy)=d\times gcd(x,y)$。

既然互质，那么统计答案时我们便可以利用欧拉函数$\phi (1)\sim \phi (n)$的值了。

枚举所有可能为$gcd(x,y)$的素数$d$，设$t$为$[1,n]$内的素数个数，则：

​ $ans=t+2{\sum }_{d,i=2}^{1\le d\le n,i\times d\le n}\phi (i)$

我们可以利用埃氏筛求$ans$，但是这样一来复杂度还是比$O(n)$高。

优化：考虑每个小于等于$n$的素数对答案的贡献，我们可将上面表示$ans$的式子改写为${\sum }_{k=1}^t((2{\sum }_{i=1}^{i\times d_k\le n}\phi (i))-1)$（由于题目所求数对有序，故乘2；又由于$(1,1)$会被重复计算，故减1）。这样一来，我们预处理$\phi$的前缀和$su{m}_k={\sum }_{i=1}^k\phi (i)$，则$ans={\sum }_{k=1}^t(2su{m}_{\lfloor \frac{n}{d_k}\rfloor }-1)$。

程序总复杂度：$O(n)$

Summary

1、互质是一个不错的性质，当某个题的条件出现互质时，那么很有可能要利用欧拉函数的性质来推解法；

2、利用算术基本定理将目标数进行质因子分解（$p_i^k{p}_2^j...p_n^k$）、进而从约数的角度分析条件性质，是一个屡试不爽的办法。

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ri register int
#define ll long long
using namespace std;

const int MAXN=1e7+20;
int N,prime[MAXN>>3],phi[MAXN],cnt;
ll sum[MAXN],ans;
bool isprime[MAXN];

void Phi()
{
	isprime[1]=true; phi[1]=1;
	for(ri i=2;i<=N;++i)
	{
		if(!isprime[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;	
		}
		for(ri j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=N;++j)
		{
			isprime[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0)	phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
			else	phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
			if(i%prime[j]==0)	break;
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&N);
	Phi();
	for(ri i=1;i<=N;++i)	sum[i]=sum[i-1]+phi[i];	
	for(ri i=1;i<=cnt;++i)	ans+=2*sum[N/prime[i]]-1;
	cout<<ans;
	return 0;
}