P1641 [SCOI2010]生成字符串

本文详细介绍了一种在模意义下计算组合数的方法,解决直接取模可能导致的负数问题,通过快速幂求逆元来避免。代码实现包括阶乘预处理、总组合数和非法方案数计算,最后通过调整确保答案正确。

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这个题的公式:

ans=_{n+m}^{n}\textrm{C}-_{n+m}^{n+1}\textrm{C}

具体做法在洛谷的题解中描述的十分详细。

但我们要注意的一点的是:由于答案取模,故直接对上式的每一项取模后在相减的话,容易出现负数(显然,a>b并不代表a%p > b%p)。这时的答案应该是:(_{n+m}^{n}\textrm{C}modp-_{n+m}^{n+1}\textrm{C}mod p+p)modp。即对以上的ans做如下操作:

ans=(ans+p)mod p

整个的题的处理方法就十分明了了。

代码:

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

const int MAXN=2000020;
const long long MOD=20100403;
int n,m;
long long jc[MAXN],tot,unjustice,ans;

long long power(long long x,int k)//快速幂求逆元 
{
	if(k==1)	return x;
	long long now=power(x,k/2);
	now=(now*now)%MOD;
	if(k%2==1)	now=(now*x)%MOD;
	return now;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	jc[1]=1;//处理i的阶乘%MOD 
	for(int i=2;i<=n+m;i++)	jc[i]=(jc[i-1]*i)%MOD;
	tot=(jc[n+m]*power((jc[n]*jc[m])%MOD,MOD-2))%MOD;//tot:1和0的总组合数 
	unjustice=(jc[n+m]*power((jc[n+1]*jc[m-1])%MOD,MOD-2))%MOD;//unjustice:不合法的方案数 
	ans=((tot-unjustice)%MOD+MOD)%MOD;//ans=(ans+MOD)%MOD 
	cout<<ans;
	return 0;
}

 

c++实现一下问题 # P5040 [SCOI2006] k进制集合的映射 ## 题目描述 设$A(N,K)$是全体$N$位$K$进制整数$a$的集合($a$的高位可以为$0$,例如,$0023$可看作一个$4$位$8$进制数,或一个$4$位$5$进制数,由题中指定的条件可以唯一确定),其中$2≤K≤6000$,$N=2$,$3$,$4$,即:$$A(N,K)={a|a=a_1a_2a_3\cdots a_N,0≤a_i≤K-1,i=1,\cdots,N}$$ 设$D(N-1,K)$是$A(N-1,K)$的一个子集,它是由$A(N,K)$生成的一个$N-1$位$K$进制整数$d$的集合,**生成规则如下**: 对任何$d\in D(N-1,K)$,存在$a\in A(N,K)$,使$d=Image(a)$,其中,$d=d_1d_2\cdots d_{N-1},d_i=min(a_i,a_{i+1})$,即$d_i$取为$a_i,a_{i+1}$的最小值。 注1:我们称这个规则为$A(N,K)$ 到$A(N-1,K)$内的一个映射$d=Image(a)$,可以证明这个映射是多对一的,即:如果$d,e\in D(N-1,k)$且$d\not=e$,则对任何满足$d=Image(a),e=Image(c)$的$A(N,K)$中的元素$a,c$,均有$a\not=c$ 注2:对某些$K,N$, $D(N-1,K)$是$A(N-1,K)$的一个真子集,例如$K=4,N=4$,则不存在$a\in A(4,4)$,使$Image(a)=(323)$ **任务**:从文本文件输入两个用空格隔开的整数 $N,K$,然后在指定的文本文件中输出下列表达式的值: $$f(N,K)=\sum_{a\in A(N,K),Image(a)=d}(\prod_{i=1}^{N-1}(d_i+1))$$ 上式表示对$A(N,K)$中的全部元素$a$,对其映像$d=Image(a)=d_1d_2\cdots d_{N-1}$的各位数字加$1$后的乘积求和。 其中$\prod^{N-1}_{i=1}(d_i+1)=(d_1+1)(d_2+1)\cdots(d_{N-1}+1)$ **例**:设$N=2,K=3$,则$A(N,K)={00,01,02,11,10,12,20,21,22}$,正确的输出结果应为$14$。 **提示**:应先建立相应的计算方法,直接利用$f(N,K)$的表达式计算会使多数测试超时。 ## 输入格式 输入文件只有一行:用空格隔开的两个整数N k。 ## 输出格式 输出文件只有一个大整数,为计算结果。 ## 输入输出样例 #1 ### 输入 #1 ``` 2 3 ``` ### 输出 #1 ``` 14 ``` ## 说明/提示 **关于测试的说明**: 数字完全正确,给满分。当输出结果的位数超过$15$位时,如果仅最后两位不准确时给一半分。(每个需测试的计算结果不超过$10^{19}$)。
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