P2158 [SDOI2008]仪仗队&&欧拉函数的求法

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欧拉函数（此处将此题作为欧拉函数模板套路题分析）

Description

https://www.luogu.com.cn/problem/P2158

Solution

本题思路

我们首先转化题意：假设当前C君站在$(0,0)$处，右上角坐标为$(n-1,n-1)$，那么：设一名站在坐标$(x,y)$处的学生：

​ 若该学生不能被看见，当且仅当$\exists d\in N(d|x\wedge d|y)$

进一步转化条件：如果该学生能被看见，则说明$┐\exists d\in N(d|x\wedge d|y)$，那么***从质因子分解的角度考虑***，此时$x,y$不存在相同的质因子，进而说明$x,y$互质。

所以，站在坐标$(x,y)$处的学生能被看见等价于$gcd(x,y)=1$（$x,y$互质）

考虑欧拉函数的定义：$\phi (n)={\sum }_{i=1}^n[gcd(i,n)==1]$，即：$\phi (n)$表示$[1,n]$内与$n$互质的数的个数。

那么，对于此题，答案即为$3+2{\sum }_{i=2}^n\phi (i)$。（1、考虑$(x,y),(y,x)$同时合法/不合法；2、$(0,1),(1,0),(1,1)$处的学生一定可以被看见，$(0,x),(x,0)(x>1)$的学生一定不能被看见）。

总结：涉及到$gcd(x,y)$取值可能为1的问题，往往需要用到欧拉函数。

求$\phi (1)\sim \phi (n)$的方法

$O(n\sqrt{n})$求法

由于$$\phi (n)=n\prod _p^{p|n}\frac{p-1}{p}$$，故我们可以对$1\sim n$内的每个数进行质因子分解即可。

int Phi(int x)//求phi(x)一般用利用容斥原理推出的公式,O(sqrt(n)) 
{
	ri phix=x;
	for(ri i=2;i*i<=x;++i)
		if(x%i==0)
		{
			phix=phix/i*(i-1);
			while(x%i==0)	x/=i;//由于i|x，故不会出现精度问题
		}
	if(x>1)	phix=phix/x*(x-1);//注意可能大于sqrt(x)的质因子
	return phix;
}

$O(n)$求法

一般的$O(n)$做法利用了线性筛（欧拉筛）法的良好性质。

进行筛法的过程中，对于素数$n$，直接令$\phi (n)=n-1$即可。关键在于怎么把非素数的欧拉函数表示出来。

由于线性筛具有“每一个数只会被其最小的质因子筛去”的优秀性质，故我们可以考虑合数$n=p\times k$在被它的最小质因子$p$筛去时，利用$\phi (p)$与$\phi (k)$的值来求$\phi (n)$（此处线性筛外层循环枚举待筛数的最大因子的筛取性质证得：若$k$为合数，当线性筛外层循环循环至$k$时，$k$是否为素数及$\phi (k)$已被求出）。

1、$p|k$

此时说明$n$只含一个值为$p$的素因子（不是只含一个素因子），由于欧拉函数满足积性函数的性质，故当$gcd(k,p)=1$时，$\phi (n)=\phi (pk)=\phi (p)\phi (k)=(p-1)k$。

2、$p\nmid k$

此时$p|gcd(k,p)$，$\phi (n)\ne \phi (pk)=\phi (p)\phi (k)$。

为了推得正确的公式，我们先证明几个引理：

引理1：设$p$为质数，则$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$

证明：因为$p^k$只含$p$一个质因子，故$[1,p^k]$内所有与$p$不互质的数的集合可表示成{x∣xp,1≤x≤pk−1,x∈N}\{x|xp,1\leq x\leq p^{k-1},x\in N\}{x∣xp,1≤x≤pk−1,x∈N}。这个集合的元素个数为$p^{k-1}$个，那么$[1,p^k]$内与$p^k$互质的元素个数即为$p^k-p^{k-1}$，即$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$

引理2：设$p$为质数，则$\phi (p^{k+1})=p\times \phi (p^k)$

证明：由引理1，得：

​ $\phi (p^{k+1})=p^{k+1}-p^k=p(p^k-p^{k-1})=p\times \phi (p^k)$

由以上两个引理及积性函数性质，可推得：

设$n=p\times k$，$p$为素数且$p|k$，则有：$\phi (n)=p\times \phi (k)$

证明：设$n$不含因子$p$的最大因子为$m$，则：

$\phi (n)=\phi (p\times k)=\phi (p^t\times m)=\phi (p^t)\phi (m)=p\phi (p^{t-1})\phi (m)=p\phi (p^{t-1}m)=p\phi (k)$

其中$t\ge 2,t\in N$

所以，对于$\forall n\in N^{+}\forall p(p|n)$，有：

(1) $\phi (n)=\phi (p)\phi (\frac{n}{p})=(p-1)\phi (\frac{n}{p}),p^2\nmid n$

(2) $\phi (n)=p\phi (\frac{n}{p}),p^2|n$

所以，在线性筛的第二层循环时，每利用一个$prime$筛去某个数时，直接利用上述公式将被筛数的$\phi$值求出即可。

以上便是求$\phi (1)\sim \phi (n)$的$O(n)$方法

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ri register int
using namespace std;

const int MAXN=4e4+20;
int N,prime[MAXN>>2],phi[MAXN],cnt,ans=3;
bool isprime[MAXN];

void Phi()//O(n)求1~N的欧拉函数 
{
	isprime[1]=true; phi[1]=1;
	for(ri i=2;i<=N;++i)
	{
		if(!isprime[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;	
		}
		for(ri j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=N;++j)
		{
			isprime[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0)	phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
			else	phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
			if(i%prime[j]==0)	break;//这句话不能提前，否则无法处理phi[i*i]（i均为质数） 
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&N);
	Phi();
	if(N==1) { cout<<"0"; return 0; }
	for(ri i=2;i<=N-1;++i)
		ans+=phi[i]<<1;
	cout<<ans;
	return 0;
}