博客介绍了如何计算nn元一次不定方程在非负整数约束下的解的数量。通过将有限制的不定方程转化为无限制的不定方程，利用隔板法和容斥原理，将问题简化为计算不满足约束条件的解的个数，最终得出解的总数。整个过程涉及集合交并补运算、容斥公式和无约束不定方程的解数计算公式。
此类问题通常被表示为：
给出nnn元一次不定方程∑i=1nxi=m\sum_{i=1}^{n}x_i=m∑i=1nxi=m与nnn个限制条件xi≤bix_i\leq b_ixi≤bi，其中m,bi∈Nm,b_i\in \Nm,bi∈N。求该不定方程的非负整数解的个数。
解决此问题的通常思路是：将有限制的不定方程非负整数解计数转化为无限制的不定方程非负整数解计数。
无限制的不定方程非负整数解计数
先考虑如下问题：给出nnn元一次不定方程∑i=1nxi=m\sum_{i=1}^{n}x_i=m∑i=1nxi=m，其中m∈Nm\in\Nm∈N。求方程的非负整数解的个数。
在无限制的情况下，该方程非负整数解的个数为Cm+n−1n−1C_{m+n-1}^{n-1}Cm+n−1n−1。
证明：隔板法：假设有n+m−1n+m-1n+m−1个位置，选出其中n−1n-1n−1个位置作为隔板，其余mmm个位置作为数字111，这n−1n-1n−1个将mmm个111分成了nnn段，每一段111的个数即为两个隔板间代表的数。故Cm+n−1n−1C_{m+n-1}^{n-1}Cm+n−1n−1即为答案。
如何转化
有一个关于集合交并补差运算的公式：
∣⋂i=1nSi∣=∣U∣−∣⋃i=1n∁USi∣|\bigcap_{i=1}^{n}S_i|=|U|-|\bigcup_{i=1}^{n}\complement_US_{i}|∣i=1⋂nSi∣=
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