[欧拉函数]BZOJ 2818 Gcd 题解

原创于 2018-10-14 20:34:12 发布 · 356 阅读

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#BZOJ #欧拉函数

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博客介绍了BZOJ 2818题目的解题思路，重点是利用欧拉函数解决关于最大公约数（Gcd）的问题。解题关键在于理解当gcd(i, j) = p时，可以转化为求解gcd(i/p, j/p) = 1的情况。博主通过枚举素数p，计算[1, n/p]范围内互质的数对个数，公式为2*Σ(1到n/p)的φ(i)-1，其中φ(i)为欧拉函数。文章包含详细的解题分析及示例代码。" 132962341,19991456,老人智能手表方案：安全与健康的守护者,"['智能硬件', '健康监测', '智能穿戴', '安全保护', '老年关怀']

题目大意

见题面。

解题分析

一开始我还以为很麻烦，然后才发现是数论水题。

思想很简单，之前用过的套路 $gcd(i,j)=p\ => gcd(i/p,j/p)=1$

所以就是枚举素数p，然后就是求[1,n/p]中互质的数对个数，不难发现就是 $2*\sum_{i=1}^{n/p}\varphi(i)-1$ （剔除多算的(1,1)）

示例代码

题目传送门

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=10000005;
int n,p[maxn],phi[maxn];
LL sum[maxn],ans;
bool vs[maxn];
void makep(){
	phi[1]=sum[1]=1; sum[0]=p[0]=0;
	for (int i=2;i<=n;i++){
		if (!vs[i]) {p[++p[0]]=i; phi[i]=i-1;}
		for (int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++){
			vs[i*p[j]]=1;
			if (i%p[j]) phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
			else {phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j]; break;}
		}
		sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
	}
}
int main()
{
	freopen("gcd.in","r",stdin);
	freopen("gcd.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n); makep(); ans=0;
	for (int i=1;i<=p[0];i++) ans+=sum[n/p[i]]*2-1;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}