17、判断聚合：理论与挑战

判断聚合：理论与挑战

1. 引言

孔多塞悖论揭示了一个深层次的问题，它不仅影响多数决规则。在判断聚合领域，也存在类似疑问：教义悖论是否只是个体对一组命题进行判断时所产生的更棘手问题的表象？答案是肯定的，这也是判断聚合新理论的起点。

2. 初步概念

2.1 命题语言

我们将处理用标准命题语言表述的判断聚合问题，其定义如下：
[
\phi := p \in X \mid \neg\phi \mid \phi \land \phi \mid \phi \lor \phi \mid \phi \to \phi
]
其中 (X) 是一组原子。

2.2 议程与个体判断

2.2.1 判断聚合结构

判断聚合结构 (J = \langle N, A \rangle) 定义如下：
- (N) 是一个非空的主体集合；
- (A \subseteq L)（议程），满足 (A = {\phi \mid \phi \in I} \cup {\neg\phi \mid \phi \in I})，其中 (I \subseteq L)（问题集）仅包含正的（即非否定的）偶然公式。基于问题集 (I) 的议程常记为 (\pm I)。

简单来说，议程是一个在补运算下封闭的公式集，即 (\forall\phi: \phi \in A) 当且仅当 (\neg\phi \in A)，并且消除了双重否定，使得每个公式最多包含一个否定。

2.2.2 判断集与判断谱

判断集 (J \subseteq A) 需满足：