5、非经典逻辑的证明复杂性研究

非经典逻辑的证明复杂性研究

1. 弗雷格系统及其扩展的比较

在逻辑证明领域，弗雷格系统及其扩展，如扩展弗雷格系统（Extended Frege）和替换弗雷格系统（Substitution Frege）的比较是一个有趣的话题。扩展弗雷格系统允许用命题原子来缩写可能复杂的公式，而替换弗雷格系统则允许通过所谓的替换规则，一步推导出已证明公式的任意替换实例。这两种机制与弗雷格系统相比，都可能减小证明的规模，但在经典命题逻辑中，这两个系统之间是否存在分离关系尚不清楚。

最初引入这些系统时，就有人观察到替换弗雷格系统在多项式时间内可以模拟扩展弗雷格系统，并猜想前者可能严格强于后者。然而，在经典命题逻辑中，道（Dowd）以及克拉伊切克（Krajíček）和普德拉克（Pudlák）分别独立证明了这两个系统实际上是多项式等价的。

不过，在非经典逻辑中，这种等价性证明并不成立，但我们仍能从中提取一些通用信息。耶拉贝克（Jeřábek）的研究给出了相关定理：
- 定理50 ：对于任何模态逻辑或超直觉主义逻辑，扩展弗雷格系统和树状替换弗雷格系统是多项式等价的。但需要注意的是，这里仅针对使用单一一元模态词的模态逻辑，对于双模态逻辑，甚至不清楚替换弗雷格系统是否能模拟扩展弗雷格系统。
- 定理51 ：
1. 对于模态逻辑KB的所有扩展，扩展弗雷格系统和替换弗雷格系统是多项式等价的。
2. 对于模态逻辑K和直觉主义逻辑，替换弗雷格系统比扩展弗雷格系统在指数上更优。这里“指数上更优”指的是存在一系列重言式，它们在替换弗雷格系统中有多项式规模的证明，但在扩展弗雷格系统中需要指数规模的证明，这些重言式