1、基于原始对偶模式的快速分布式算法

基于原始对偶模式的快速分布式算法

1. 引言

在图优化问题中，开发快速分布式算法是一个重要的研究方向。这里所讨论的是基于原始 - 对偶模式来开发此类算法的通用方法。我们关注的是同步的消息传递网络，其目的是计算自身拓扑结构的全局函数，例如最大独立集、顶点和边着色、小支配集、顶点覆盖等。在这个过程中，节点仅知道其邻居，几乎没有全局信息，唯一允许的全局信息是网络中的节点数 $n$（或其上限）。算法的运行时间由计算输出所需的通信轮数决定，在很多情况下，通信成本远高于本地计算成本，这种模型为开发和分析算法提供了一个实用的定量框架。

这些要计算的组合对象在理论和实践上都有重要用途。例如，小支配集是自组织网络路由基础设施（即骨干网）的首选设置方法；边着色常用于分布式架构中的数据传输并行化；最大独立集则是许多分布式算法的基本构建块。

这里的基本挑战在于：如果协议运行 $t$ 轮，每个节点只能收集到距离为 $t$ 的节点的信息。当 $t$ 远小于网络直径时，我们要基于局部信息计算整个网络的全局函数。

2. 基于原始 - 对偶模式的分布式算法

原始 - 对偶模式是开发组合优化问题高效算法的强大方法。近年来，它在处理 NP 难题时取得了很好的效果，能产生许多具有性能保证的复杂近似算法。其核心观点是，原始 - 对偶算法通常具有一定的局部性，适合进行快速分布式实现。下面以顶点覆盖问题为例进行说明。

2.1 顶点覆盖问题的表述

顶点覆盖问题是给定一个无向网络，计算一个顶点集，使得每条边的至少一个端点在该集合中，并且希望这个集合的规模尽可能小。当顶点有正整数成本时，我们寻求总成本最小的覆盖。这个问题即使在单位成本下也是 N