37、特征为 2 和 3 的域上修改后的 Tate 对的硬件加速

特征为 2 和 3 的域上修改后的 Tate 对的硬件加速

在密码学领域，Tate 对是一种重要的双线性映射，在基于身份的加密、短签名等密码学方案中有着广泛的应用。本文将详细介绍特征为 2 和 3 的域上修改后的 Tate 对的计算方法及相关优化。

1. 基础概念

在特征为 2 的域 (F_{2^m}) 上，对于椭圆曲线 (E(F_{2^m})[\ell]) 上的点 ((x, y))，(F_{2^{4m}}) 中的元素 (s) 和 (t) 满足 (s^2 = s + 1) 和 (t^2 = t + s)。这使得 (F_{2^{4m}}) 可以表示为 (F_{2^m}) 的扩展域，基为 ((1, s, t, st))，即 (F_{2^{4m}} = F_{2^m}[s, t] \cong F_{2^m}[X, Y]/(X^2 + X + 1, Y^2 + Y + X))。

函数 (f_{T’,P’}) 是 (F_{2^m}(E)) 中的元素，其中 (F_{2^m}(E)) 表示曲线的函数域，其定义为：
[
f_{T’,P’} : E(F_{2^{4m}})[\ell] \to F_{2^{4m}}^*
]
[
\psi(Q) \to
\left(
\prod_{i = 0}^{\frac{m - 1}{2}}
g_{[2^i]P’}(\psi(Q))^{2^{\frac{m - 1}{2} - i}}
\right)
l_{P’}(\psi(Q))
]

其中：
- 点加倍公式 ：
[
[2^i]