21、构建具有普通雅可比矩阵的配对友好超椭圆曲线

构建具有普通雅可比矩阵的配对友好超椭圆曲线

1. 引言

配对基密码学大约在 2000 年由 Joux、Sakai、Ohgishi、Kasahara 以及 Boneh 和 Franklin 的重要工作提出。其核心在于利用有限域上阿贝尔簇的 Weil 或 Tate 配对来构建密码系统。对于定义在有限域 $F_q$ 上的 $g$ 维阿贝尔簇，其素数阶 $\ell$ 的子群可通过配对映射嵌入到某个扩域 $F_{q^k}$ 的乘法群中。其中，$g \log q / \log \ell$ 的比值（记为 $\rho$）和扩域次数 $k$（嵌入度）对配对基密码系统的构建至关重要。

在密码学中，超椭圆曲线的雅可比簇常被使用。超椭圆曲线的雅可比簇是 $g$ 维的阿贝尔簇，而椭圆曲线是亏格为 1 的超椭圆曲线，也是 1 维的阿贝尔簇。适合配对基密码学的阿贝尔簇被称为“配对友好”的，相应的超椭圆曲线也被称为“配对友好”的。

配对友好的重要条件包括：
- 嵌入度 $k$ 应处于合适大小。
- $\rho$ 值应较小，理论最小值约为 1。

对于椭圆曲线，已有许多构建配对友好普通椭圆曲线的方法。然而，对于高维的配对友好普通阿贝尔簇，相关的显式构建结果较少。本文提出了两种构建具有普通雅可比矩阵的配对友好超椭圆曲线的方法：Cocks - Pinch 方法的类似方法和分圆方法。

2. 超椭圆曲线与配对基密码学的定义和基本事实

2.1 超椭圆曲线及其雅可比矩阵

设 $p$ 为奇素数，$F_q$ 是具有 $q = p^r$ 个元素的有限域。超椭圆曲线 $C$ 的定义方程为 $y^2 = f(x)$，其中 $f(x