10、工程数学中的变换方法：拉普拉斯变换与Z变换详解

工程数学中的变换方法：拉普拉斯变换与Z变换详解

1. 拉普拉斯变换求解偏微分方程

拉普拉斯变换在求解拉普拉斯方程或泊松方程时非常有用，以下通过几个具体问题来详细说明其应用。

1.1 求解半无限圆柱体内的泊松方程

考虑在半无限圆形圆柱体内求解泊松方程：
[
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{2}{b}n(z)\delta(r - b),\quad 0 \leq r < a,\quad 0 < z < \infty
]
边界条件为：
[
u(r, 0) = 0,\quad \lim_{z \to \infty}|u(r, z)| < \infty,\quad 0 \leq r < a
]
[
u(a, z) = 0,\quad 0 < z < \infty
]
这里(0 < b < a)，该问题描述了半径为(a)的接地半无限圆柱体的静电势，在(r = b)处有一个无限薄壳，其电荷密度为(n(z))。

操作步骤如下：
1. 引入拉普拉斯变换 ：
定义(U(r, s) = \int_{0}^{\infty}u(r, z)e^{-sz}dz)，对原方程进行拉普拉斯变换可得：
[
\frac{1}{r}\frac{d