24、z变换：理论、应用与特性详解

z变换：理论、应用与特性详解

1. 引言

在分析线性系统时，我们常常需要求解线性常系数微分方程，拉普拉斯变换就是解决这类方程的一个重要工具。同时，傅里叶域方法也被广泛用于线性系统的分析。随着数字计算机的出现，处理离散时间信号或序列变得越来越重要。这些信号既可以通过对连续时间信号采样得到，也可以本身就是离散的。

为了分析线性离散时间系统，我们需要一个类似于拉普拉斯变换（LT）的离散时间版本，z变换就满足了这一需求。和拉普拉斯变换一样，z变换可以用于求解线性常系数差分方程。我们可以先将差分方程转换为一组代数方程，然后在变换域中求解。此外，z变换还可以看作是离散时间傅里叶变换（FT）的推广。

离散时间傅里叶变换的表达式并不总是收敛的，而z变换为这些不收敛的情况提供了一种表示方法。而且，使用z变换可以简化符号表示，还能借助复变函数的相关知识来分析离散时间系统。

z变换并不是一个新的概念，它可以追溯到18世纪早期的棣莫弗（DeMoivre），他引入了生成函数的概念，这个概念在概率论中被广泛应用。随着数字计算机的快速发展，20世纪50年代初人们对z变换的兴趣再次兴起，此后z变换一直被用于离散时间系统的分析。

2. z变换的定义

假设我们有一个离散时间序列x[n]，它可以是本身就是离散时间的，也可以是通过对连续时间信号xc(t)采样得到的，即x[n] = xc(nT)，其中n是整数，T是采样周期。那么x[n]的双边z变换定义为：
[X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] z^{-n}]
这里，z是一个复变量，上述求和可能收敛，也可能不收敛，取决于z的模和序列x[n]。在z平