13、离散时间信号处理：滤波器与Z变换详解

离散时间信号处理：滤波器与Z变换详解

1. 窄带信号与滤波器延迟

窄带信号具有特殊的性质，就像理想滤波器的脉冲响应必然是无限双边序列一样，任何完美的窄带信号都没有可识别的“起始点”。当我们考虑将输入应用到滤波器时，实际上是在隐含地假设一个单边（更可能是有限支撑）信号，而这个信号在所有频率上都有非零的频谱分量。这些因素综合起来，使得信号的总延迟总是非负的。

2. 离散时间滤波器相关练习

以下是一系列关于离散时间滤波器的练习，涵盖线性、时不变性、卷积、系统性质等多个方面。
- 练习5.1：线性与时不变性 - I ：考虑变换(T{x[n]} = nx[n])，判断(T)是否定义了一个线性时不变（LTI）系统。
- 练习5.2：线性与时不变性 - II ：对于离散时间系统(T{·})，当输入为(x[n] = \cos((2\pi/5)n))时，输出为(T{x[n]} = \sin((\pi/2)n))，判断该系统是否为线性时不变系统，并解释原因。
- 练习5.3：有限支撑卷积
- 已知有限支撑信号(h[n] = \begin{cases}1, & |n| \leq M \ 0, & \text{otherwise}\end{cases})，计算(M = 2)时(x[n] = h[n] h[n])，并绘制结果。
- 计算(x[n])的离散时间傅里叶变换（DTFT）(X(e^{j\omega}))，并在区间([0, \pi])内绘制其值。
- 定性描述当(M)增大时(\vert X(e^{j