17、电路分析中的拉普拉斯变换应用详解

电路分析中的拉普拉斯变换应用详解

在电路分析领域，拉普拉斯变换是一种强大的工具，它能够将时域中的电路问题转化为复频域中的代数问题，从而简化分析过程。本文将通过多个具体的电路问题，详细介绍拉普拉斯变换在电路分析中的应用。

1. 并联电路问题

问题 12 - 19

此问题要求使用拉普拉斯变换求出不同条件下 (t > 0) 时的电流 (i(t))。
- 情况 (a) ：已知方程 ( + 5i = 3u(t)) 且 (i(0) = 4)。首先对该方程进行拉普拉斯变换，得到 (L [i (t) ] = I (s))。通过代入相关条件并进行一系列运算，利用部分分式展开技术，设 ( )，比较系数得到 (A + B = 4) 和 (2.5A = 1.5)，解得 (A = 0.6)，(B = 3.4)，最终得出电流表达式。
- 情况 (b) ：根据已知条件，考虑 (L [i] = I(s)) 和 (L [δ(t)] = 1)，对给定方程进行拉普拉斯变换，整理得到 ((s^2 + 4s + 3) I(s) = 3s)。再次使用部分分式展开，比较系数解得 (A = - 1.5)，(B = 4.5)，进而得到电流 (i(t) = 1.5 (3e^{-3t} - e^{-t}) u(t) A)。
- 情况 (c) ：对于 (t > 0)，应用基尔霍夫电流定律，结合电容和电阻的电压关系，得到微分方程。考虑初始条件 (i(0 - ) = 10 A)，进行拉普拉斯变换并使用部分分式展开，最终得到 (i(t) = 5 (1 + e^{-4t}) u(t)