20、拉普拉斯变换与二极管知识详解

拉普拉斯变换与二极管知识详解

拉普拉斯变换

在拉普拉斯变换中，当 $\gamma /\omega_0 = 1$ ，即 $\omega’ = 0$ 时，之前的解无效，因为求解过程中方程两边同乘了零。对于这种特殊情况（临界阻尼），$I(s)$ 可重写为：
$I(s)=\omega_0^2Q_0\frac{1}{(s + \gamma)^2}$
此式可在表 5.1 的第 4 行找到，其逆变换为：
$I(t)=\omega_0^2Q_0t e^{-\gamma t}$
该解从 0 开始，先增大然后衰减到 0。实际上，这个解也可以通过对之前的解取 $\omega’ \to 0$ 的极限得到。

部分分式法

• 一般多项式分母情况 ：当分母是 $n$ 次多项式时，可以进行因式分解，或者猜测分子为 $n - 1$ 次多项式。例如，对 $F(s)=\frac{1}{s(s^2 + b^2)}$ 进行逆变换，可尝试：
  $\frac{A}{s}+\frac{Bs + D}{s^2 + b^2}=\frac{1}{s(s^2 + b^2)}$
  其中 $A$、$B$ 和 $D$ 是待确定的未知常数。无论分式如何拆分，所需常数的总数是相同的。只有当剩余表达式能在拉普拉斯变换表中找到时，这种方法才有用。
• 分母有简并情况 ：当分母中有相同的量的幂大于 1 时，进行部分分式分解时要包含到分母中该幂次的所有幂。例如，对 $F(s)=\frac{1}{s(s + b)^3}$ 进行逆变换，由于根 $-b$ 出现了 3 次，使用四个未知常数可写为：