21、变分反演在天气雷达极化测量中的应用

变分反演在天气雷达极化测量中的应用

1. 变分反演概述

在天气雷达极化测量中，之前的同时衰减校正和DSD反演方法是确定性方法，未考虑误差影响；贝叶斯方法虽考虑误差但未考虑衰减，且两者都未包含空间天气信息，也不够灵活以添加更多观测或约束。变分方法结合了贝叶斯和同时方法的优点，能最优地利用所有可用信息和测量值。仅使用观测值的称为基于观测的反演，包含数值天气预报（NWP）模型预报结果的分析则称为数据同化（DA）方法。

1.1 一般公式

变分反演是一种统计反演方法，会考虑状态变量的空间协方差。基于高斯分布误差模型的假设，从贝叶斯理论可推导出变分方法的公式。假设状态向量估计 $x$ 是高斯分布，协方差矩阵为 $B$，观测向量 $y$ 也是高斯分布，误差协方差为 $R$，则有：
$$-2\ln[p(x | y)] = [y - H(x)]^tR^{-1}[y - H(x)] + [x - x_b]^tB^{-1}[x - x_b] + C$$
其中，$x_b$ 是状态向量的平均背景或初始猜测，$H(\cdots)$ 是观测算子，上标 $t$ 表示转置矩阵。最优反演是找到使概率 $p(x | y)$ 最大的状态向量，这等价于最小化代价函数：
$$J = [x - x_b]B^{-1}[x - x_b] + [y - H(x)]^t R^{-1} [y - H(x)]$$
求解可得：
$$\hat{x} = x_b + [B^{-1} + H’^tR^{-1}H’]^{-1}H’^tR^{-1}[y - H(x_b)]$$
其中，$H’$ 表示雅可比算子，是一个包含前向观测算子 $H$ 关于状态向量各元素偏导数的矩阵。该变分公式可用