15、量子算法：隐藏子群与搜索问题的解决方案

量子算法：隐藏子群与搜索问题的解决方案

1. 有限阿贝尔隐藏子群问题

在处理有限阿贝尔隐藏子群问题时，我们有如下的算法流程。假设对于任意的 $N$，都能高效且精确地执行量子傅里叶变换 $QFT_N$。设 $N = 2^i N_i$，$N = p_1^{n_1} p_2^{n_2} \cdots p_l^{n_l}$ 为 $N$ 的质因数分解，且 $n = \sum_{j} n_j$。

以下是有限阿贝尔隐藏子群问题的算法步骤：
1. 设置 $i = 1$。
2. 从状态 $|0⟩|0⟩\cdots |0⟩|0⟩ \in H_{N_1} \otimes H_{N_2} \otimes \cdots \otimes H_{N_k} \otimes H_X$ 开始。
3. 对输入寄存器应用 $QFT_{N_1,N_2,\cdots,N_k}$。
4. 应用 $U_f$ 以创建状态 $\sum_{x} |x⟩|f(x)⟩$。
5. （可选）测量第二个寄存器。
6. 对输入寄存器应用 $QFT_{N_1,N_2,\cdots,N_k}^{-1}$。
7. 测量第一个寄存器以获得值 $t_i$。
8. 如果 $i < n + 4$，则将 $i$ 加 1 并返回步骤 1；否则，继续执行步骤 9。
9. 找到方程 $T x^T = 0 \mod 1$ 解空间的生成元 $k_1, k_2, \cdots$，其中 $T$ 是第 $i$ 行元素为 $(\frac{t_{i,1}}{N_i}, \frac{t_{i,2}}{N_i}, \cdots, \frac{t_{i,k}}{N_i})$ 的矩阵。
10. 输出 $