5、量子算法：从纽结多项式计算到数论问题求解

量子算法：从纽结多项式计算到数论问题求解

1. 纽结多项式的核磁共振量子计算

1.1 计算流程概述

利用核磁共振（NMR）技术计算纽结的琼斯多项式，主要包括以下几个关键步骤：
1. 从辫群元素序列到 Temperley - Lieb 代数元素 ：根据特定规则“打开”辫群元素的交叉，得到如下对应关系：
- $\sigma_1 = A \cdot E_1 + A^{-1} \cdot 1$
- $\sigma_1^{-1} = A^{-1} \cdot E_1 + A \cdot 1$
- $\sigma_2 = A \cdot E_2 + A^{-1} \cdot 1$
- $\sigma_2^{-1} = A^{-1} \cdot E_2 + A \cdot 1$
2. 从 Temperley - Lieb 代数元素到酉算子（矩阵） ：使用“路径模型表示”方法，最终得到对应于辫群元素 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 的 $(2\times2)$ 矩阵 $U_1$ 和 $U_2$，矩阵中包含变量 $\theta$，它与括号多项式的变量 $A$ 相关。
- $U_1 = \begin{pmatrix} e^{-i\theta} & 0 \ 0 & -\frac{e^{i\theta}\sin(4\theta)}{\sin (2\theta)} + e^{-i\theta} \end{pmatrix}$
- $U_2 = \begin{pmatrix} -\frac{e^{i\theta}\sin(6\theta)}