14、量子算法中的阶查找、离散对数与隐藏子群问题

量子算法中的阶查找、离散对数与隐藏子群问题

1. 阶查找算法复杂度

在黑盒模型中，算法的复杂度可以通过黑盒的应用次数以及其他操作的数量来衡量。以下是阶查找问题的经典和量子复杂度总结：
| 问题类型 | 量子复杂度 | 最佳已知严格概率经典算法复杂度 | 最佳已知启发式概率经典算法复杂度 |
| — | — | — | — |
| 查找 $Z_N^*$ 中随机元素的阶 | $O((\log N)^2 \log \log(N) \log \log \log(N))$ | $\tilde{O}(\sqrt{\log N \log \log N})$ | $\tilde{O}((\log N)^{\frac{1}{3}} (\log \log N)^{\frac{2}{3}})$ |
| 黑盒群中的阶查找 | $O(\log r)$ 次黑盒乘法和 $O(n + \log^2 r)$ 其他基本操作 | $\Theta(\sqrt{r})$ 次黑盒乘法 |

2. Shor 阶查找方法

Shor 提出的阶查找方法（特别是估计 $\frac{1}{r}$ 的随机整数倍）步骤如下：
1. 创建初始态 ：
- 初始态为 $|\psi_0\rangle = \sum_{x = 0}^{2^n - 1} \frac{1}{\sqrt{2^n}} |x\rangle|a^x \bmod N\rangle$。
- 可重写为 $|\psi_0\rangle = \sum_{b = 0}^{r - 1} \left(\frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{z = 0}^{m_b - 1} |zr +