6、量子算法中的群、域及相关问题研究

量子算法中的群、域及相关问题研究

1. 有限阿贝尔群相关理论

在有限阿贝尔群的研究中，我们可以定义群操作。对于群 $\hat{G}$，通过 $\Psi_a \circ \Psi_{a + b}$ 定义群操作 $\circ$，可以证明 $(\hat{G}, \circ)$ 与 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z} = G$ 同构，进而有 $|G| = |\hat{G}|$。实际上，对于所有有限阿贝尔群，都有 $G \simeq \hat{G}$。

以有限循环群 $G := {1, g, g^2, \ldots, g^{r - 1}}$ 为例，其 $r$ 个不同的特征标函数 $\Psi_a$ 定义为 $\Psi_a(g^k) = e^{2\pi iak/r}$，其中 $a, k \in {0, \ldots, r - 1}$。对偶群 $\hat{G}$ 关于映射的复合也构成群，即 $\Psi_a \circ \Psi_b(x) = \Psi_a(x) \cdot \Psi_b(x) = \Psi_{a + b}(x)$（$x \in G$）。由于 $G \simeq \mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$，所以 $G \simeq \hat{G} \simeq \mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$，且 $|\hat{G}| = |G|$。

特征标具有一些有用的性质，这些性质是描述有限阿贝尔隐藏子群问题量子算法的基本工具。

引理 5.1 ：设 $G$ 是有限阿贝尔群，$H$ 是 $G$ 的子群。对于 $G$ 上的每个特征标 $\Psi$，有
[
\frac{1}{|G|} \sum