6、量子计算中的隐藏子群问题及相关算法

量子计算中的隐藏子群问题及相关算法

1. 前期计算与连分数

在前期的计算中，直至公式(5.1)的所有计算都是有效的。利用公式 (|1 - e^{i\theta}| = 2|\sin(\theta/2)|)，可以将公式(5.1)第二种情况的绝对值改写为：
(\frac{|1 - e^{2\pi i mrb/q}|}{|1 - e^{2\pi i rb/q}|} = \frac{|\sin(\pi mrb/q)|}{|\sin(\pi rb/q)|})
等式右边是关于 (b) 的两个正弦函数的比值，由于分子中有额外的因子 (m)，分子的振荡速度比分母快得多。需要注意的是，当且仅当 (b) 接近 (q/r) 的整数倍时，分母接近 0（使得该比值变大）。对于大多数这样的 (b)，分子不会接近 0。因此，大致来说，如果 (b) 远离 (q/r) 的整数倍，该比值会较小；而对于大多数接近 (q/r) 整数倍的 (b)，比值会较大。经过精确计算，可以证明（高概率情况下）测量得到的 (b) 满足：
(\left|\frac{b}{q} - \frac{c}{r}\right| \leq \frac{1}{2q})
其中 (c) 是({0, \ldots, r - 1})中的随机整数。等价地，(|b - cq/r| \leq 1/2)，所以测量结果 (b) 是 (q/r) 的某个整数倍四舍五入后的整数。这里 (b) 和 (q) 是已知的，而 (c) 和 (r) 是未知的。

由于已知的比值 (b/q) 并不恰好等于未知的比值 (q/r)，所以不能像简单情况那样通过将 (b/q) 化为最简分数来找到 (r)。然而，两个分母小于等于 (N) 的不同分数之间的距离至少为 (1/N^2