7、量子计算中的非阿贝尔隐藏子群问题与相对论量子信息

量子计算中的非阿贝尔隐藏子群问题与相对论量子信息

非阿贝尔隐藏子群问题相关内容

1. 隐藏子群问题定义
   • 设 (G) 为非阿贝尔群，函数 (F:G→S) 若满足对于所有 (x,y∈G)，(F(x)=F(y)) 当且仅当 (x^{-1}y∈H)，则称 (F) 隐藏了子群 (H ≤ G)。这意味着 (F) 在 (G) 中 (H) 的左陪集 (H,g_1H,g_2H,\cdots) 上是常数，且在不同左陪集上取值不同。非阿贝尔隐藏子群问题就是从 (F) 确定 (H)。
2. 图自同构问题示例
   • 图 (G=(V,E)) 由顶点集 (V = {1,\cdots,n}) 和边集 (E) 组成，边是 (V) 的二元子集，若 ((i,j)∈E⊆V^2) 则 (i) 和 (j) 相连。
   • 考虑顶点的置换 (\pi∈S_n)，定义 (\pi G = G’=(V,E’))，其中 (E’ = {(\pi(i),\pi(j))|(i,j)∈E})。图 (G) 的自同构是满足 (\pi G = G) 的置换，自同构集合是 (S_n) 的子群，记为 (Aut(G))。图自同构问题就是确定给定图 (G) 的所有自同构，使用函数 (F(\pi)=\pi G)，这是 (S_n) 上的隐藏子群问题。
3. 表示理论
   • 设 (G) 为有限群，(G) 在向量空间 (C^n) 上的表示是函数 (\rho:G→GL(C^n))，满足 (\r