25、瞬态与动态问题的数值求解方法

瞬态与动态问题的数值求解方法

1. 广义梯形算法

1.1 算法原理

广义梯形算法是求解瞬态问题的常用方法。以Hilbert - Hughes - Taylor α - 方法为例，它推广了梯形单步时间积分法，得到更新后的方阵 $[S]$ 和每一步更新的源向量 ${f} n$。具体公式如下：
- 方阵 $[S] = ([M]/\Delta t + \beta[K])$
- 源向量 ${f}_n = ([M]/\Delta t + (\beta - 1)[K]){T} {n - 1} + (1 - \beta){p}_{n - 1} + \beta{p}_n$
- 线性矩阵系统 $[S]{T}_n = {f}_n$

只要时间步长 $\Delta t$ 保持不变，线性系统方阵 $[S]$ 的组装和分解（或求逆）只需进行一次，而源向量 ${f}_n$ 则需要在每一步更新。

1.2 算法常数 $\beta$ 的常见选择

$\beta$ 值	方法名称	稳定性
0	条件稳定的向前差分（Euler）方法	条件稳定
1/2	无条件稳定的梯形（Crank - Nicolson）方法	无条件稳定