38、数值方法在偏微分方程求解中的应用与比较

数值方法在偏微分方程求解中的应用与比较

在科学和工程领域，偏微分方程（PDEs）的数值求解是一个关键问题。本文将介绍两种不同的数值方法，即Chebyshev-Multiple-Endpoints配点法和间断残差分布法，并对它们在不同类型问题中的应用进行探讨。

Chebyshev-Multiple-Endpoints配点法

在高阶微分方程边值问题的求解中，Chebyshev-Multiple-Endpoints配点法和一种新的边界条件技术被提出。这种方法通过Chebyshev多项式可以轻松获得新的配点。

• 配点类型与收敛性 ：不同类型的配点在数值求解中表现不同。其中一种配点类型总是导致解的爆炸，而另外两种类型的配点方案可以收敛并产生静态数值解。例如，当$M = 20$，$N = 10$和$c = 1000$时，使用Multiple-Endpoints和Chebyshev-Gauss-Lobatto配点得到的数值解与物理实验结果进行比较。结果表明，使用Multiple-Endpoints配点得到的数值结果与物理实验拟合良好，而使用Chebyshev-Gauss-Lobatto配点得到的数值结果在面外位移中出现明显的负值，不符合物理实际。
• 线性问题中的优势 ：对于线性问题，新的配点和边界条件技术有助于改善微分矩阵的条件数和数值解的近似精度。在非线性弹性薄膜屈曲问题的例子中，条件数的改善对成功求解非线性问题至关重要。

间断残差分布法

间断残差分布法主要用于时间相关的双曲型偏微分方程的数值模拟。该方法的核心思想是在空间上采