3、数学建模、数值方法与问题求解

数学建模、数值方法与问题求解

1 数值计算的精度与计算量权衡

在数值计算中，若追求更精确的结果，往往需要付出更高的计算代价。每将步长减半以提高精度，计算量就会翻倍。这表明在精度和计算量之间存在一种权衡关系，这种权衡在数值方法中十分常见。

2 工程与科学中的守恒定律

2.1 守恒定律的基本形式

除了牛顿第二定律，守恒定律也是科学和工程中的重要组织原则。其基本形式可概括为：
[Change = increases - decreases]
此式体现了守恒定律在工程和科学中预测随时间变化的基本应用方式，我们称之为时变（或瞬态）计算。

2.2 稳态计算

当变化为零时，上述公式变为：
[Increases = decreases]
这种情况被称为稳态计算，在工程和科学中有诸多应用。例如，在管道的稳态不可压缩流体流动中，流入节点的流量必须等于流出的流量。对于蹦极运动员，稳态条件对应于合力为零的情况，即：
[mg = c_d υ^2]
由此可求解出终端速度：
[υ = \sqrt{\frac{gm}{c_d}}]

2.3 不同工程领域的守恒定律应用

不同工程领域会运用不同的守恒定律来建立模型，具体如下表所示：
| 工程领域 | 组织原则 | 数学表达式 | 应用设备 |
| — | — | — | — |
| 机械工程 | 动量守恒 | (m\frac{d^2x}{dt^2} =) 向下力 - 向上力 | 机器 |
| 电气工程 | 能量守恒、电荷守恒 | 电流平衡：(\