34、哈密顿 - 雅可比理论：从积分到几何光学的深入探究

哈密顿 - 雅可比理论：从积分到几何光学的深入探究

1. 希尔伯特独立积分

在一个由测地等距超曲面族所定义的正则场中，存在一种线积分，它与积分路径无关。这个积分以其发现者希尔伯特命名，不仅在哈密顿 - 雅可比理论中具有重要意义，在变分法的某些方面也发挥着关键作用。

假设存在一个简单覆盖区域 $G$ 的测地等距超曲面族。考虑区域 $G$ 内分别位于超曲面 $S = \sigma_1$ 和 $S = \sigma_2$ 上的任意两点 $P_1$ 和 $P_2$，以及一条连接这两点且位于 $G$ 内的任意 $C^1$ 曲线 $C: q_i = q_i(t)$。曲线 $C$ 的切向量 $(dq_i/dt, 1)$ 的分量记为 $(q_i’, 1)$。沿着曲线 $C$ 对 $dS$ 进行积分，这个积分显然与路径无关：
[J := \int_{P_1}^{P_2} dS(q_i, t) = \sigma_2 - \sigma_1 = \int_{P_1}^{P_2} \left(\frac{\partial S}{\partial q_i}q_i’ + \frac{\partial S}{\partial t}\right) dt]

通过应用 $p_i = \partial S / \partial q_i$ 和哈密顿 - 雅可比方程，可得到一个与路径无关的积分：
[J = \int_{P_1}^{P_2} \left(p_iq_i’ - H(q_i, p_i, t)\right) dt = \sigma_2 - \sigma_1]

再通过勒让德变换消除 $p_i$，引入 $\dot{q} i$，得到：
[J = \int