19、气象雷达极化技术在天气观测与量化中的应用及高级方法解析

气象雷达极化技术在天气观测与量化中的应用及高级方法解析

1. 衰减校正方法

1.1 Z - PHI 方法

在气象雷达测量中，衰减校正是一项重要的工作。Z - PHI 方法是其中一种用于衰减校正的技术。
首先，通过积分操作：
[
\int_{0}^{\ell} \frac{dg(r)}{dr} dr = -0.46 \int_{0}^{\ell} \frac{baZ_h(r)}{b} dr
]
得到：
[
\int_{0}^{\ell} \frac{dg(r)}{dr} dr = -0.46 \int_{0}^{\ell} aZ_h(r) dr
]
将其代入相关方程并求解固有（衰减校正后）反射率 (Z_h(r))，可得：
[
Z_h(r) = Z_h’(r) \left[ \frac{1}{1 + 0.46 \int_{0}^{\ell} \frac{aZ_h(r)}{b} dr} \right]^{\frac{1}{b}}
]
然而，该方法存在不稳定性，因为 A - Z 关系存在建模误差，反射率测量也存在估计误差，误差积累会导致结果发散。为获得收敛稳定的结果，系数 (a) 由总衰减 (PIA_H(r_N)) 计算得出：
[
a = \frac{1}{b \int_{0}^{\ell} \exp(-0.23 PIA_H(r_N)) Z_h(r) dr}
]
Z - PHI 方法最初用于校正 C 波段极化雷达测量。同样的方法也可用于差分反射率的差分衰减校正，只需将 ((a, b)) 替换为 ((a_d, b_d))，(Z_h) 替换为 (Z_{dr})，(PIA_H) 替换为 (PIA_{DP})。

1.2 自约束一致方法（SCWC）

在 DP 和 Z - PHI 方法进行衰减校正时，需要衰减和差分衰减系数 ((c, d))。但这些系数会因降水微物理特性的不同而有很大变化，导致衰减校正不准确。自约束一致方法（SCWC）应运而生。
该方法通过优化来确定系数，使重建的 (\phi_{DP}(r, c)^{(e)}) 和测量的 (\phi_{DP}(r)^{(m)}) 之间的差异最小化。具体步骤如下：
1. 从 (\Delta\phi_{DP}^{(m)}) 估计 (PIA_H)：
[
a(c) = \frac{1}{b \int_{0}^{\ell} \exp(-0.23 \Delta\phi_{DP}^{(m)}) Z_h(r) dr}
]
2. 重建差分相位 (\phi_{DP}(r, c)^{(e)})：
[
\phi_{DP}(r, c)^{(e)} = \int_{0}^{\ell} aZ_h(c) dc
]
3. 最小化总绝对差异：
[
\chi = \sum_{n = 1}^{N} |\phi_{DP}(r_n, c)^{(e)} - \phi_{DP}(r_n)^{(m)}|
]
以找到最优系数 (c_{opt})，该系数可能因射线而异。同样的最小化过程可用于找到 (d_{opt}) 来校正差分反射率。另一种获得 (d_{opt}) 的方法是使用衰减校正后的 (Z_H) 和 (Z_H) 与 (Z_{DR}) 固有值之间的线性关系确定 (Z_{DR}(r_N))，然后通过下式估计 (d_{opt})：
[
d_{opt} = \frac{Z_{DR}(r_N) - Z_{DR}’(r_N)}{\phi_{DP}(r_N)^{(m)} - \phi_{DP}(0)^{(m)}}
]
找到最优系数 (c_{opt}) 和 (d_{opt}) 后，即可获得总衰减 (PIA_H) 和差分衰减 (PIA_{DP}) 以及衰减校正后的反射率和差分反射率。

1.3 双频方法

对于 S 波段雷达测量，雨衰减可忽略不计，美国的国家 WSR - 88D 网络就工作在 S 波段。C 波段或 X 波段的路径积分衰减（PIA）可通过双频比（DFR）或双波长比（DWR）来估计，其定义为 S 波段和 C/X 波段水平反射率的差值。
双频方法可与 Z - PHI 方法联合使用，以射线末端的 (PLA_H) 作为约束条件。不过，该方法的应用存在一定限制，需要满足以下条件：
1. 来自两个不同频率系统的雷达数据。
2. 无冰雹污染的数据。
3. 假设两个频率的固有反射率相同。
否则，需要更复杂的方法来校正衰减。

1.4 示例结果

通过对 X 波段反射率测量进行衰减校正的示例可以看到不同方法的效果。以 2004 年 5 月 30 日 00:55:37 UTC 观测到的超级单体风暴为例，使用 UMass X - pol 和极化 KOUN S 波段雷达数据。
|方法|反射率校正效果|差分反射率校正效果|
| ---- | ---- | ---- |
|DP|衰减校正后的反射率场更合理，随距离增加无衰减|校正后 (Z_{DR}) 无明显距离趋势|
|Z - PHI|衰减校正后的反射率场更合理，随距离增加无衰减|此例中低估差分衰减|
|SCWC|提供的衰减校正反射率偏差稍小，偏差校正误差与其他两种方法相近|校正后 (Z_{DR}) 无明显距离趋势|
|DF| - | - |

这些基于经验关系的基本简单衰减校正方法在纯雨区和粗略估计中效果较好。但当存在融化的冰雹/雪时，非瑞利散射和后向散射相位差变得重要，会导致 (\phi_{DP}) 非单调增加且有较大波动误差，此时需要进一步研究。应使用 (\rho_{hv}) 阈值或分类结果排除受冰雹/融化雪污染的区域，然后使用多参数优化方案联合最小化分析和测量的 (Z_H)、(Z_{DR}) 和 (\phi_{DP}) 之间的差异，以实现最佳衰减校正结果。

2. 基于贝叶斯定理的降雨估计

假设降雨状态变量 (x) 和雷达变量 (y) 遵循联合高斯分布，其概率密度函数（PDF）为：
[
p(x, y) = \frac{1}{2\pi \sigma_x \sigma_y \sqrt{1 - \rho_{xy}^2}} \exp \left[ -\frac{1}{2(1 - \rho_{xy}^2)} \left( \frac{(x - \mu_x)^2}{\sigma_x^2} - 2\rho_{xy} \frac{(x - \mu_x)(y - \mu_y)}{\sigma_x \sigma_y} + \frac{(y - \mu_y)^2}{\sigma_y^2} \right) \right]
]
根据贝叶斯定理，在测量 (y) 的条件下 (x) 的 PDF 为：
[
p(x|y) = \frac{p(x, y)}{p(y)} = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_{x|y}} \exp \left[ -\frac{(x - \mu_{x|y})^2}{2\sigma_{x|y}^2} \right]
]
其中：
[
\mu_{x|y} = \mu_x + \rho_{xy} \frac{\sigma_x}{\sigma_y} (y - \mu_y)
]
[
\sigma_{x|y} = \sigma_x \sqrt{1 - \rho_{xy}^2}
]
令 (x = \ln(R))，(y = \ln(Z))，可得降雨估计的相关公式：
[
\mu_{\ln(R)|\ln(Z)} = \mu_{\ln(R)} + \rho_{\ln(R),\ln(Z)} \frac{\sigma_{\ln(R)}}{\sigma_{\ln(Z)}} (\ln(Z) - \mu_{\ln(Z)})
]
[
\sigma_{\ln(R)|\ln(Z)} = \sigma_{\ln(R)} \sqrt{1 - \rho_{\ln(R),\ln(Z)}^2}
]
降雨估计值 (\hat{R}) 为：
[
\hat{R} = \exp \left[ \mu_{\ln(R)|\ln(Z)} + \frac{\sigma_{\ln(R)|\ln(Z)}^2}{2} \right] = aZ^b
]
其中：
[
a = \exp \left[ \mu_{\ln(R)} - \rho_{\ln(R),\ln(Z)} \frac{\sigma_{\ln(R)}}{\sigma_{\ln(Z)}} \mu_{\ln(Z)} + \frac{\sigma_{\ln(R)}^2 (1 - \rho_{\ln(R),\ln(Z)}^2)}{2} \right]
]
[
b = \rho_{\ln(R),\ln(Z)} \frac{\sigma_{\ln(R)}}{\sigma_{\ln(Z)}}
]
使用类似的方法，当考虑反射率和差分反射率测量时，也可推导出降雨估计公式。

3. 约束伽马 DSD 模型的等价性

在天气观测和量化中，需要双参数降雨滴谱分布（DSD）模型来便于基于观测的反演。伽马 DSD 模型 (N(D) = N_0 D^{\mu} \exp(-\Lambda D)) 的 (n) 阶矩为：
[
M_n = \int_{0}^{\infty} D^n N(D) dD = \frac{N_0 \Gamma(\mu + n + 1)}{\Lambda^{\mu + n + 1}}
]
一般平均特征尺寸定义为 ((n + 1)) 阶矩与 (n) 阶矩的比值：
[
D_n \equiv \frac{M_{n + 1}}{M_n} = \frac{\mu + n + 1}{\Lambda}
]
分布 (p_n(D) = \frac{D_n N(D)}{M_n}) 的标准差（或谱宽）为：
[
\sigma_n \equiv \left[ \int_{0}^{\infty} (D - D_n)^2 p_n(D) dD \right]^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{\mu + n + 1}}{\Lambda}
]
如果 (\sigma_n) 和 (D_n) 满足关系 (\sigma_n = aD_n^b)，将上述公式代入该关系并化简可得：
[
\mu = \frac{a^2 (n + 1)}{(1 - b)^2} \Lambda - \frac{2a (n + 1)}{(1 - b)^2} + \frac{(n + 1)}{(1 - b)} - 1
]
这表明宽度 - 尺寸（(\sigma_n - D_n)）关系等价于形状 - 斜率（(\mu - \Lambda)）关系，两者都可作为伽马 DSD 的约束条件，将伽马分布的三个参数减少为两个参数。

3.1 流程图：约束伽马 DSD 模型参数推导

graph TD;
    A[定义伽马 DSD 模型 N(D)] --> B[计算 n 阶矩 M_n];
    B --> C[定义平均特征尺寸 D_n];
    C --> D[计算标准差 σ_n];
    D --> E[假设 σ_n 和 D_n 关系 σ_n = aD_n^b];
    E --> F[推导 μ 和 Λ 关系];

4. 练习题分析

4.1 极化雷达特征描述

描述融化层在 (Z_H)、(Z_{DR}) 和 (\rho_{hv}) 方面的极化雷达特征，并与干雪和雨的特征进行比较。这需要结合云/降水物理和波散射理论来解释差异的原因。

4.2 回波分类

下载极化雷达数据，使用 (Z_H)、(Z_{DR}) 和 (\rho_{hv}) 三个测量值作为输入，根据隶属函数参数将雷达回波分类为十个类别：GC/AP、BS、DS、WS、CR、GR、BD、RA、HR 和 RH。不同区域有分类限制：
- 融化层以下区域：仅允许 GC/AP、BS、BD、RA、HR 和 HA 类。
- 融化层以上区域：仅允许 DS、CR、GR 和 HA 类。
- 融化层内区域：仅允许 GC/AP、BS、DS、WS、GR、BD 和 HA 类。
最后绘制雷达测量值和分类结果，并根据风暴物理常识检查和解释分类结果。

4.3 降雨估计关系推导

使用从 DSD 数据计算得到的降雨率 (R) 和反射率 (Z_h) 值，通过最小二乘法在对数域中将数据拟合到幂律关系 (R = aZ^b) 和 (Z = cR^d)，以推导雷达降雨估计器。同时，基于贝叶斯定理使用相关公式推导 (R(Z)) 关系，并与最小二乘法拟合结果进行比较，分析不同方法产生差异的原因，探讨如何从实际数据中准确推导降雨估计器。

4.4 降雨 DSD 反演

使用 KOUN 雷达数据的 (Z_H) 和 (Z_{DR}) 进行降雨 DSD 反演：
1. 假设 DSD 遵循 M - P DSD 模型，从观测的 (Z_H) 求解参数 (\Lambda)。
2. 假设 DSD 遵循 C - G DSD 模型，从观测的 (Z_H) 和 (Z_{DR}) 求解参数 (N_0) 和 (\Lambda)。
3. 从提供的 DSD 数据和反演的 DSD 参数计算总数量浓度 (N_t)、降雨率 (R) 和质量加权平均直径 (D_m)。
4. 绘制 M - P 和 C - G DSD 模型的反演 (N_t)、(R) 和 (D_m) 以及从 DSD 数据计算的值，比较结果并讨论发现。
5. 对练习题 4.2 中的数据进行 DSD 反演，绘制并分析 (N_0)、(\Lambda)、(R) 和 (D_m) 的结果，将降雨率与经验关系得到的结果进行比较。

4.5 模拟测量

使用练习题 4.4e 中获得的 S 波段 DSD 参数，计算 X 波段的 (Z_H)、(Z_{DR})、(A_H) 和 (A_{DP})。通过包含 PIA 和差分衰减 (PIA_H) 和 (PIA_{DP}) 模拟测量反射率和差分反射率 (Z_H’) 和 (Z_{DR}’)，绘制图像并与 S 波段测量结果进行比较。

5. 高级方法与最优反演

5.1 同时衰减校正和 DSD 反演

在气象雷达测量中，S 波段非衰减极化雷达数据（PRD）在降雨估计和雨滴谱分布（DSD）反演方面取得了成功。然而，更高频率的 PRD 会遭受显著的衰减，在气象学家正确解释和使用数据之前，需要进行衰减校正。由于降雨衰减取决于降雨微物理特性，衰减校正过程中使用的参数/系数（b，c，d）也依赖于降雨 DSD。因此，同时进行衰减校正和 DSD 反演是更自然和更好的方法，这种方法可以解决双极化和双频雷达测量中的衰减问题。

5.1.1 双极化和双频雷达技术的类比

双极化和双频雷达在从降雨 DSD 进行反演时，都使用两个雷达测量值来反演双参数（N₀，Λ）DSD。在无衰减的情况下，双极化 DSD 反演很直接，可从 (Z_{DR}) 求解尺寸参数 Λ，从 (Z_{H}) 求解浓度参数 N₀。但在存在衰减的情况下，需要先校正衰减和差分衰减，才能进行 DSD 反演。因为衰减取决于云/降水微物理特性，所以衰减估计和校正依赖于 DSD 信息，这就需要同时进行衰减校正和 DSD 反演。

5.1.2 公式：积分方程法

假设降雨 DSD 由约束伽马模型表示，其中只有两个自由 DSD 参数：N₀ 和 Λ。使用该模型，衰减包含的反射率表达式如下：
[
Z_{h,v}(r) = Z_{h,v}’(r) e^{-0.46 \int_{0}^{r} A_{h,v}(s) ds}
]
其中：
[
A_{h,v}(r) = 8.686 \text{Im}[K_w^2] \int_{0}^{\infty} s_{hh,vv}(D, \lambda) N(D) D^2 dD
]
将其写成水平极化的分贝形式：
[
Z_H’(r) = 10\log_{10}[C N_0(r) I_Z(\Lambda(r))] - 2 \int_{0}^{r} A_H(s) ds
]
水平和垂直反射率的差值得到衰减包含的差分反射率：
[
Z_{DR}’(r) = 10\log_{10}\left[\frac{I_Z^h(\Lambda(r))}{I_Z^v(\Lambda(r))}\right] - 2 \int_{0}^{r} [A_H(s) - A_V(s)] ds
]
这些方程构成了同时衰减校正和 DSD 反演的积分方程公式。对于 N 个距离门的射线，有 N 个 (Z_H’) 和 (Z_{DR}’) 测量值以及 N 对 DSD 参数（N₀，Λ），可以通过递归方法求解这些方程：
1. 正向递归 ：
- 从初始门 (r = r_1) 开始，忽略路径积分衰减（PIA），从 (Z_{DR}’(r_1)) 求解 Λ(r₁)，从 (Z_{H}’(r_1)) 求解 N₀(r₁)。
- 已知第一个门的（N₀，Λ）后，计算第二个门测量值的衰减项，并包含在方程中，从 (Z_H’) 和 (Z_{DR}’) 求解第二个门的（N₀，Λ）。
- 重复上述步骤，直到最后一个门 (r = r_N)。
2. 反向递归 ：从最后一个门 (r = r_N) 开始，估计 PIAH 和 PIADP 并包含在方程中，然后向初始门 (r = r_1) 求解。

5.2 流程图：同时衰减校正和 DSD 反演

graph TD;
    A[开始] --> B[选择递归方向（正向或反向）];
    B --> C{是否为初始门或最后一个门};
    C -- 是 --> D[根据条件求解初始参数（正向：r=r1；反向：r=rN）];
    C -- 否 --> E[计算当前门衰减项];
    E --> F[从测量值求解当前门（N₀，Λ）];
    F --> G{是否到达最后一个门或初始门};
    G -- 否 --> E;
    G -- 是 --> H[结束];
    D --> F;

5.3 表格：不同方法总结

方法	适用情况	操作步骤
Z - PHI 方法	C 波段极化雷达测量衰减校正	1. 积分操作得到相关方程；2. 代入求解固有反射率 (Z_h(r))；3. 若不稳定，用总衰减 (PIA_H(r_N)) 计算系数 (a)
自约束一致方法（SCWC）	解决 DP 和 Z - PHI 方法中系数因降水微物理特性变化导致的不准确问题	1. 从 (\Delta\phi_{DP}^{(m)}) 估计 (PIA_H)；2. 重建差分相位 (\phi_{DP}(r, c)^{(e)})；3. 最小化总绝对差异找到最优系数 (c_{opt}) 和 (d_{opt})
双频方法	C 波段或 X 波段路径积分衰减估计	通过双频比（DFR）或双波长比（DWR）估计 PIA，可与 Z - PHI 方法联合使用，需满足一定条件
同时衰减校正和 DSD 反演	更高频率 PRD 存在衰减情况	1. 建立积分方程公式；2. 采用正向或反向递归方法求解 DSD 参数（N₀，Λ）

5.4 总结与展望

本文介绍了气象雷达极化技术在天气观测和量化中的多种应用，包括衰减校正方法（Z - PHI 方法、自约束一致方法、双频方法）、基于贝叶斯定理的降雨估计、约束伽马 DSD 模型的等价性以及同时衰减校正和 DSD 反演等高级方法。这些方法在不同的情况下有各自的优势和适用范围。

然而，当存在融化的冰雹/雪时，非瑞利散射和后向散射相位差会导致测量结果出现复杂情况，需要进一步研究。未来可以考虑使用多参数优化方案，联合最小化分析和测量的 (Z_H)、(Z_{DR}) 和 (\phi_{DP}) 之间的差异，以实现最佳的衰减校正和 DSD 反演结果。同时，将极化雷达数据同化到数值天气预报（NWP）模型中，有望进一步提高天气预报的准确性。