15、多元微积分中的向量微积分与物理应用

多元微积分中的向量微积分与物理应用

1. 散度定理

散度定理是多元微积分中的一个重要定理。它是将格林定理和斯托克斯定理在三维空间的进一步推广。

在三维空间中，我们考虑一个封闭曲面 $\varSigma$ 包围着一个开放的固体区域 $V$。与格林定理和斯托克斯定理中沿封闭曲线进行边界积分不同，这里的边界积分是在封闭曲面 $\varSigma$ 上进行的，即 $\iint_{\varSigma} \vec{F} \cdot \vec{n} dS$。这个积分与向量场 $\vec{F}$ 在区域 $V$ 内部的“导数”积分相关。这里的“导数”用向量场 $\vec{F}$ 的散度来度量，散度的定义为：
[
\mathrm{div} \vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}
]
通常用 $\nabla \cdot \vec{F}$ 来简写。

散度定理表述如下：
设 $\vec{F}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中包含 $V \cup \varSigma$ 的开集 $O$ 上的光滑向量场，则有
[
\iint_{\varSigma} \vec{F} \cdot \vec{n} dS = \iiint_{V} \nabla \cdot \vec{F} dV
]

下面我们来证明对于长方体区域的情况。设长方体区域 $V$ 由 $x_0 < x < x_1$，$y_0 < y < y_1$，$z_