§7.1 紧致空间

第7章　紧致性

§7.1　紧致空间

　　本节重点：

　　掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．（这些方法哪些是充要条件）；

　　掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的．

　　在§5.3中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即Lindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的Heine－Borel定理断言：实数空间R的任何一个子集为有界闭集的充分必要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3中我们将要推广这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中．

　　定义7.1.1　设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间．

　　明显地，每一个紧致空间都是Lindeloff空间．但反之不然，例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff空间，但它不是一个紧致空间．

　　例7.1.1　实数空间R不是一个紧致空间．这是因为如果我们设

　　A＝{（－n，n）R|b∈Z+},则A的任何一个有限子族

　　{ },由于它的并为

　　(-max{},max{})

　　所以不是R的一个子覆盖．因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖．

　　定义7.1.2　设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集,如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集．

　　根据定义，拓扑空间X中的一个子集Y是X的紧致子集意味着每一个由子空间Y中的开集构成的Y的开覆盖有一个有限子覆盖，这并不明显地意味着由X中的开集构成的每一个Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要的．

　　定理7.1.1　设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集．则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．（此定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）

　　证明　必要性设Y是拓扑空间X中的一个紧致子集,A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成．则容易验证集族A}也是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成．因此A有一个有限子覆盖，设为

　　{},于是A的有限子族覆盖Y．

　　充分性，假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖．设A是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成．则对于每一个A∈A存在X中的一个开集使得A=∩Y．因此A}是由X中的开集构成的Y的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为

　　{}

　　此时易见A的子族{｝覆盖Y．这证明Y是X的一个紧致子集．

　　下面介绍关于紧致性的一个等价说法．

　　定义7.1.3　设A是一个集族．如果A的每一个有限子族都有非空的交（即如果是A的一个有限子族，则），则称A是一个具有有限交性质的集族．

　　定理7.1.2　设X是一个拓扑空间．则X是一个紧致空间当且仅当X中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．

　　证明　:设X是一个紧致空间．用反证法．设F是X中的一个具有有限交性质的闭集族．设F≠．如果

　　，则令A={∈F}．由于

　　

　　所以A是X的一个开覆盖．于是A有一个有限子覆盖，设为{}．从而

　　

　　这说明F 不具有有限交性质．矛盾．

　　“”，设X中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．为证明X是一个紧致空间，设A是X的一个开覆盖．我们需要证明A有一个有限子覆盖．如果A=，则，这蕴涵X=以及A的每一个子族都是X的覆盖．以下假定A≠．此时F={|A∈A}便是X中的一个非空闭集族，并且

　　因此，它不具有有限交性质．也就是说，它有一个有限子族其交为空集．设F的这个有限子族为{}，则

　　是X的一个有限子覆盖．

　　如果B是紧致空间X的一个基，那么由B中的元素构成的X的一个覆盖当然是一个开覆盖，因此有有限子覆盖．下述定理指出，为验证拓扑空间的紧致性，只要验证由它的某一个基中的元素组成的覆盖有有限子覆盖．

　　定理7.1.3　设B*是拓扑空间X的一个基，并且X的由B*中的元素构成的每一个覆盖有一个有限子覆盖．则X是一个紧致空间．

　　证明　A* 　设是X的一个开覆盖．对于每一个A∈A*存在B*的一个子族使得

　　

　　令 由于

　　

　　故是一个由B*的元素构成的X的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为 ,对于每一个，i=1,2,…，n，

　　于是对于A*的有限于族{}有

　　

　　也就是说A*有一个有限子覆盖{ }．这证明X是一个紧致空间．

　　定理7.1.4　设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个连续映射．如果A是X的一个紧致子集，则f（A）是Y的一个紧致子集．

　　证明　设C*是f（A）的一个覆盖，它由Y中的开集组成．对于每一个C∈C*，由于f是一个连续映射，（C）是X中的一个开集

　　

　　所以A＝{(C)|C∈C*}是A的一个开覆盖．由于A是X的一个紧致子集，所以A有一个有限子族，设为{}，覆盖A

　

　　即{}是C*的一个子族并且覆盖f（A）．这证明f（A）是Y的一个紧致子集．

　　由上述定理可见，拓扑空间的紧致性是连续映射所保持的性质，因此是拓扑不变性质，也是一个可商性质．

　　由此可见，由于实数空间R不是紧致空间，而每一个开区间都是与它同胚的，所以每一个开区间（作为子空间）都不是紧致空间．

　　定理7.1.5　紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集．

　　证明　设Y是紧致空间X中的一个闭子集．如果A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成．则 是X的一个开覆盖．设B1是B的一个有限子族并且覆盖X．则B1-{ }便是A的一个有限子族并且覆盖Y．这证明Y是X的一个紧致子集．

　　定理7.1.6　每一个拓扑空间必定是某一个紧致空间的开子空间．

　　证明:设(X,T)是一个拓扑空间．令∞为任何一个不属于X的元素．令

　　X*=X∪{∞}

　　T*=T∪∪{X*}

　　其中={EX*|X*-E是拓扑空间(X,T)中的一个紧致闭集}

　　首先验证T*是集合X*的一个拓扑．(略)

　　其次．证明(X*,T*)是一个紧致空间:

　　设C*是X*的一个开覆盖．则存在C∈C*使得∞∈C．于是C∈,因此X*-C是紧致的,并且C*-{C}是它的一个开覆盖．于是C*-{C}有一个有限子族,设为C1,覆盖X*-C．易见C1∪{C}是C*的一个有限子族,并且覆盖X*．

　　最后,我们指出拓扑空间(X,T)是拓扑空间(X*,T*)的一个开子空间．这是因为T =及X是X*的一个开集．

　　在以上定理的证明中由拓扑空间(X,T)构造出来的紧致空间(X*,T*),通常称为拓扑空间(X,T)的一点紧化．

　　由于非紧致空间（它是存在的）是它的一点紧化的一个子空间，因此紧致性不是可遗传的性质．但由定理7.1.5可知紧致性是闭遗传的．

　　以下定理表明紧致性是可积性质．

　　定理7.1.7　设是n≥1个紧致空间．则积空间 是一个紧致空间．

　　证明(略)