§8.2　度量空间的完备性与紧致性

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本文探讨了度量空间中的完备性和紧致性的概念，定义了一个度量空间被称为完全有界的条件，并通过定理阐述了度量空间为紧致的充要条件是其同时为完全有界的完备度量空间。
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§8.2　度量空间的完备性与紧致性

　　定义8.2.1　设(X,ρ)是一个度量空间,ε>0是一个实数．X的有限子集A称为一个ε网,如果对于任何x∈X有ρ(x,A)<ε．如果对于任何实数ε>0,X有一个ε网,则称度量空间(X,ρ)是完全有界的．

　　一个度量空间是完全有界明显蕴涵着它是有界的．反之不然,例如包含着无限多个点的离散度量空间是有界的但不是完全有界的

　　定理8.2.1　设(X,ρ)是一个度量空间,则(X,ρ)是紧致的当且仅当(X,ρ)是一个完全有界的完备度量空间．

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