§6.1 ,Hausdorff空间

第6章　分离性公理

§6.1　,Hausdorff空间

　　本节重点:

　　掌握空间的定义及它们之间的不同与联系；

　　掌握各空间的充要条件；

　　熟记常见的各种空间.

　　现在我们回到我们在第二章中提出来的什么样的拓扑空间的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来这一问题．为了回答这个问题势必要求我们对度量空间的拓扑性质有充分的了解．读者将会发现，本章中所提到的诸分离性公理，实际上是模仿度量空间的拓扑性质逐步建立起来的．对诸分离性的充分研究使我们在§6.5中能够对于前述问题作一个比较深刻的（虽然不是完全的）回答．

　　定义6.1.1　设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点（即如果x，y∈X，x≠y,则或者x有一个开邻域U使得yU,或者y有一个开邻域V使得xV)，则称拓扑空间X是一个空间．

　　拓扑空间自然不必都是空间，例如包含着不少于两个点的平庸空间就不是空间．

　　定理6.1.1　拓扑空间X是一个空间当且仅当X中任意两个不同的单点集有不同的闭包．（即如果x，y∈X，x≠y，则．）

　　证明　充分性:设定理中的条件成