§7.6 局部紧致空间,仿紧致空间

§7.6　局部紧致空间,仿紧致空间

　　本节重点:

　　掌握局部紧致空间、仿紧致空间的定义．性质；

　　掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系；

　　掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系．

　　定义7.6.1　设X是一个拓扑空间,如果X中的每一个点都有一个紧致的邻域,则称拓扑空间X是一个局部紧致空间．

　　由定义立即可见,每一个紧致空间都是局部紧致空间,因为紧致空间本身便是它的每一个点的紧致邻域．

　　n维欧氏空间也是局部紧致空间,因为其中的任何一个球形邻域的闭包都是紧致的．

　　定理7.6.1　每一个局部紧致的空间都是正则空间．

　　证明　设X是一个局部紧致的Hausdorff空间,设x∈X,U是x的一个开邻域．令D是x的一个紧致邻域,作为Hausdorff空间X的紧致子集,D是X中的闭集．由推论7.2.4,D作为子空间是一个紧致的Hausdorff空间,所以是一个正则空间．是x在子空间D中的一个开邻域,其中是集合D在拓扑空间X中的内部．从而x在子空间D中有一个开邻域V使得它在子空间D中的闭包包含于W．一方面V是子空间D中的一个开集,并且又包含于W,因此V是子空间W中的一个开集,而W是X中的一个开集,所以V也是X中的开集．另一方面,由于D是X的闭集,所以V在D中的闭包便是V在X中的闭包因此点x在X中的开邻域V使得．因此X是一个正则空间．

　　定理7.6.2　设X是一个局部紧致的正则空间,x∈X,则点x的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基．

　　证明　设U是x∈X的一个开邻域．令D