§6.5 分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间

§6.5　分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间

　　本节重点:

　　掌握各分离性公理是否是连续映射所能保持的性质,是否是可遗传的,可积的.

　　本书正文中提到的所有的分离性公理有（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则和正规等，它们都是经由开集或者经由通过开集定义的概念来陈述的，所以它们必然都会是拓扑不变性质．但是我们还是愿意完全形式地作一番验证，但只是以一种情形为例．其它的请读者自己去作．

　　定理6.5.1　设X和Y是两个同胚的拓扑空间．如果X是一个完全正则的空间，则Y也是一个完全正则的空间．

　　证明　设h：X→Y是一个同胚．对于Y中的任意一个点和任何一个不包含点x的闭集B，（x）和（B）分别是X中的一个点和一个不包含点 （x）的闭集．由于X是一个完全正则空间，故存在一个连续映射f: X→[0,1]使得f((x))=0和对于任何y∈（B）有f（y）＝l．于是连续映射g＝f：Y→[0,1]，满足条件：g(x)＝0和对于任何z∈B有g(z)=1．

　　（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则都是可遗传的性质．我们也只是举一例证明之，其余的留给读者自己去作．习题第1题中的结论表明正规和