§6.6 可度量化空间

§6.6　可度量化空间

　　本节重点:掌握三个定理的结论(前两个定理的证明不要求)

　　先回忆一下在第二章中的可度量化空间的定义．一个拓扑空间称为是可度量化的，如果它的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来．我们已经在许多章节中研究过度量空间的一些拓扑性质，这些拓扑性质当然也是可度量化空间所具有的．在这一章中我们部分地回答具有什么样的拓扑性质的拓扑空间是可度量化空间这个问题．

　　定理6.6.1[Urysohn嵌入定理]　每一个满足第二可数性公理的 空间都同胚于Hilbert空间H的某一个子空间．

　　证明(略）

　　定理6.6.2　Hilbert空间H是一个可分空间．

　　证明(略)

　　定理6.6.3　设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：

　　（1）X是一个满足第二可数性公理的 空间；

　　（2）X同胚于Hilbert空间H的某一个子空间；

　　（3）X是一个可分的可度量化空间．

　　证明　（l）蕴涵（2）．此即定理6.6.1．

　　（2）蕴涵（3）．由于Hilbert空间H是一个可分的度量空间，而可分的度量空间的每一个子空间都是可分的度量空间（参见推论
5.2.5），与一个可分的度量空间同胚的拓扑空间是可分的（参见§5.2习题第4题），也是可以度量化的（参见§2.2习题12）．

　　（3）蕴涵（1）．可分的度量空间满足第二可数性公理参见定理5.2.4），可度量化空间是一个空间（参见定理6.2.3）．因此更是一个