§7.3 n维欧氏空间中的紧致子集

§7.3　n维欧氏空间中的紧致子集

　　定义7.3.1　设（X，ρ）是一个度量空间，AX．如果存在实数M＞0使得ρ（x，y）＜M对于所有x，y∈A成立，则称A是X的一个有界子集；如果X本身是一个有界子集，则称度量空间（X，ρ）是一个有界度量空间．

　　定理7.3.1　紧致度量空间是有界的．

　　证明　设（X，ρ）是一个紧致度量空间．由球形邻域构成的集族{B（x，1）|x∈X}是X的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为{B（x1，1），B（x2，1），…，B（xn，1）}．令

　　 M＝rnax{ρ(xi，xj）|1≤i，j≤n}十2

　　如果x，y∈X，则存在i，j，1≤i，j≤n，使得x∈B（xi，l）和y∈B（xj，l）．于是

　　ρ（x，y）＜ρ（x，xi）＋ρ（xi，xj）十ρ（xj，y）＜M

　　因此度量空间中的每一个紧致子集都是有界子集．特别n维欧氏空间的每一个紧致子集都是有界的．

　　下面作为引理给出单位闭区间[0,1]是一个紧致空间的证明．尽管读者可能早已熟知这个结论．

　　引理7.3.2　单位闭区间[0,1]是一个紧致空间．

　　证明　设A是[0，1]的一个开覆盖．令

　　P＝{x∈[0，l]|A有一个有限子族覆盖[0，x]}

　　它是[0，1]的一个子集．对于集合P，我们依次证明，

　　（l）P．因为显然0∈P;

　　（2）P是一个开集．

　　设x∈P．则A有一个有限子族，设为{ }，覆盖[0，x]．当x=1时，易见P＝[0，l]，它是一个开集．因此x是P的一个内点．下设x＜1．这时对于某一个i0,1≤i0≤n,有x∈.由于是[0，1]中的一个开集，所以存在实数ε＞0使得[x，x+ε)．于是[0，x＋ε).．这蕴涵[0，x+ε)P．由于[0，x＋ε）是[0，1]中的一个包含x的开集，所以x是P的一个内点．以上证明了集合P中的任何一个点都是P的内点，所以它是一个开集.

　　（3）P是一个闭集．

　　设x∈=[0,1]-P．根据集合P的定义可见，[x，1]．另外根据(1)可见．0＜x.选取选取A∈A使得x∈A．由于A是一个开集，所以存在实数ε＞0使得（x－ε，x]A．假如（x－ε,x]∩P≠，设z∈（x－ε，x]∩P．则A有一个有限子族A1覆盖[0,z]，因此A的有限子族A1∪{A}覆盖[0，x]，这与xP矛盾．所以（x－ε，x]∩P=，即（x－ε,x],从而(x-ε,1],因此x是的一个内点．这证明是一个开集，即P是一个闭集．

　　根据上述三条，P是[0，l]中的一个既开又闭的非空子集．由于[0,1]是一个连通空间，所以P=[0,1]，特别，1∈P．这也就是说A有一个有限子族覆盖［0，1］．以上证明了[0，1]的任何一个开覆盖有有限子覆盖，故[0，1]是一个紧致空间．

　　任何一个闭区间[a，b]（a＜b），由于它和单位闭区间［0，1］同胚，所以是紧致的．并且作为紧致空间的积空间，可见n维欧氏空间中任何一个闭方体（a＜b）也是紧致空间．

　　定理7.3.3　设A是n维欧氏空间中的一个子集．则A是一个紧致子集当且仅当A是一个有界闭集．

　　证明　设ρ是n维欧氏空间的通常度量．

　　“”:如果A是一个紧致子集，则根据定理7.3.1，它是有界的；由于是一个Hausdorff空间，根据推论7.2.2，它是一个闭集．

　　“”:设A是一个有界闭集．如果A=，则A是紧致的．下设A．于是存在实数M＞0使得对于任何x，y∈A有ρ(x，y）＜M．任意选取x0∈A，并且令N=M十ρ（0，x0），其中0=（0，0，…，0）∈．容易验证（根据三角不等式）A．因此A作为紧致空间中的一个闭子集必定是紧致的．

　　定理7.3.4　设X是一个非空的紧致空间，f:X→R是一个连续映射．则存在x0，x1∈X使得对于任意x∈X有

　　 f（x0）≤f(x)≤f(x1)

换言之,从非空的紧致空间到实数空间R的任何一个连续映射都可以取到最大点与最小点．

　　证明　由于X紧致，故根据定理7．1．4可见f（X）是实数空间R中的一个紧致子集．由于R是一个Hausdorff空间，所以f(X)是一个闭集．设m和M分别为集合f（X）的下，上确界，则m，M∈f(X)．因此存在x0，x1∈X使得f(x0)＝m和f(x1)=M．根据上，下确界的定义立即可见，对于任何x∈X有f（x0）≤f(x)≤f(x1).

　　此外，由于m维单位球面是一个有界闭集，所以是紧致的，n维欧氏空间不是紧致的，而紧致性又是一个拓扑不变性质，所以：

　　定理7.3.5　设m，n∈Z+．则m维单位球面与n维欧氏空间不同胚．

　　这是通过拓扑不变性质区分不同胚的拓扑空间的又一个例子．